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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

- 9 \leq y \leq - 0, 714

-9<=y<=-0,714

Notazione di intervallo:

y \in [- 9, - 0, 714]

y∈[-9,-0,714]

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

6 passaggi aggiuntivi

$7 y^{2} + 5 y < = - 9 \cdot (7 y + 5)$

Espandi le parentesi:

$7 y^{2} + 5 y < = - 9 \cdot 7 y - 9 \cdot 5$

Moltiplica i coefficienti:

$7 y^{2} + 5 y < = - 63 y - 9 \cdot 5$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 y^{2} + 5 y < = - 63 y - 45$

Aggiungi $63 y$ a entrambi i lati:

$(7 y^{2} + 5 y) + 63 y < = (- 63 y - 45) + 63 y$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 y^{2} + 68 y < = (- 63 y - 45) + 63 y$

Raggruppa termini simili:

$7 y^{2} + 68 y < = (- 63 y + 63 y) - 45$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 y^{2} + 68 y < = - 45$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a y^{2} + b y + c \leq 0$

Aggiungi $- 45$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 y^{2} + 68 y \leq - 45$

Aggiungi $- 45$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 y^{2} + 68 y + 45 \leq - 45 + 45$

Semplifica l'espressione

$7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$ , sono:

$a$ = 7

$b$ = 68

$c$ = 45

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a y^{2} + b y + c \leq 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 7$
$b = 68$
$c = 45$

$y = (- 68 \pm s q r t (68^{2} - 4 * 7 * 45)) / (2 * 7)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 4 * 7 * 45)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 28 * 45)) / (2 * 7)$

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 1260)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / (14)$

per ottenere il risultato:

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / 14$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(3364)}$

Semplifica $3364$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>3364</math>:

La scomposizione in fattori primi di $3364$ è $2^{2} \cdot 29^{2}$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{3364} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 29}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 29} = \sqrt{2^{2} \cdot 29^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2} \cdot 29^{2}} = 2 \cdot 29$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 29 = 58$

5. Risolvi l'equazione per y

$y = (- 68 \pm 58) / 14$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $y_{1} = (- 68 + 58) / 14$ e $y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

$y_{1} = (- 68 + 58) / 14$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$y_{1} = (- 68 + 58) / 14$

$y_{1} = (- 10) / 14$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y_{1} = - \frac{10}{14}$

$y_{1} = - 0, 714$

$y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

$y_{2} = (- 126) / 14$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y_{2} = - \frac{126}{14}$

$y_{2} = - 9$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: -9, -0.714.

Poiché il coefficiente di $a$ è positivo ( $a$ =7), si tratta di una disequazione "positiva" di secondo grado e la parabola punta verso l'alto, come una faccia sorridente!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$ ha un segno di disequazione $\leq$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sotto l'asse delle x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (3364)

5. Risolvi l'equazione per y

6. Calcola gli intervalli

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(3364)}$