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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Soluzione:

y_{1} = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{3}, y_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{3}

y_{1}=\frac{1}{3}+\frac{-1}{3}i\cdot\sqrt{3} , y_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i\cdot\sqrt{3}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 9 y^{2} + 6 y - 4 < 0$ , sono:

$a$ = -9

$b$ = 6

$c$ = -4

2. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a y^{2} + b y + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 9$
$b = 6$
$c = - 4$

$y = (- 6 \pm s q r t (6^{2} - 4 * - 9 * - 4)) / (2 * - 9)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$y = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * - 9 * - 4)) / (2 * - 9)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 6 \pm s q r t (36 - - 36 * - 4)) / (2 * - 9)$

$y = (- 6 \pm s q r t (36 - 144)) / (2 * - 9)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$y = (- 6 \pm s q r t (- 108)) / (2 * - 9)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 6 \pm s q r t (- 108)) / (- 18)$

per ottenere il risultato:

$y = (- 6 \pm s q r t (- 108)) / (- 18)$

3. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 108)}$

Semplifica $- 108$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 108$ è $6 i \cdot \sqrt{3}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 108} = \sqrt{(- 1) \cdot 108}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 108} = i \sqrt{108}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{108} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3} = 2 \cdot 3 i \cdot \sqrt{3}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 3 i \cdot \sqrt{3} = 6 i \cdot \sqrt{3}$

4. Risolvi l'equazione per y

$y = (- 6 \pm 6 i * s q r t (3)) / (- 18)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $y_{1} = (- 6 + 6 i * s q r t (3)) / (- 18)$ e $y_{2} = (- 6 - 6 i * s q r t (3)) / (- 18)$

5 passaggi aggiuntivi

$y_{1} = \frac{(- 6 + 6 i \cdot \sqrt{3})}{- 18}$

Sposta il segno negativo dal denominatore al numeratore:

$y_{1} = \frac{- (- 6 + 6 i \cdot \sqrt{3})}{18}$

Espandi le parentesi:

$y_{1} = \frac{(6 - 6 i \cdot \sqrt{3})}{18}$

Scomponi la frazione:

$y_{1} = \frac{6}{18} + \frac{- 6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$y_{1} = \frac{(1 \cdot 6)}{(3 \cdot 6)} + \frac{- 6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$y_{1} = \frac{1}{3} + \frac{- 6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Semplifica la frazione:

$y_{1} = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{3}$

5 passaggi aggiuntivi

$y_{2} = \frac{(- 6 - 6 i \cdot \sqrt{3})}{- 18}$

Sposta il segno negativo dal denominatore al numeratore:

$y_{2} = \frac{- (- 6 - 6 i \cdot \sqrt{3})}{18}$

Espandi le parentesi:

$y_{2} = \frac{(6 + 6 i \cdot \sqrt{3})}{18}$

Scomponi la frazione:

$y_{2} = \frac{6}{18} + \frac{6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$y_{2} = \frac{(1 \cdot 6)}{(3 \cdot 6)} + \frac{6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$y_{2} = \frac{1}{3} + \frac{6 i \cdot \sqrt{3}}{18}$

Semplifica la frazione:

$y_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{3}$

5. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

2. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

3. Semplifica la radice quadrata (−108)

4. Risolvi l'equazione per y

5. Calcola gli intervalli

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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3. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 108)}$