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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

k < - 6 or k > 4

k<-6 or k>4

Notazione di intervallo:

k \in (- \infty, - 6) ⋃ (4, \infty)

k∈(-∞,-6)⋃(4,∞)

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Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

8 passaggi aggiuntivi

$64 - (4 \cdot (k^{2} + 2 k - 8)) < 0$

Espandi le parentesi:

$64 - (4 k^{2} + 4 \cdot 2 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Moltiplica i coefficienti:

$64 - (4 k^{2} + 8 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$64 - (4 k^{2} + 8 k - 32) < 0$

Espandi le parentesi:

$64 - 4 k^{2} - 8 k + 32 < 0$

Raggruppa termini simili:

$- 4 k^{2} - 8 k + (64 + 32) < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

Sottrai 96 da entrambi i lati:

$(- 4 k^{2} - 8 k + 96) - 96 < 0 - 96$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 4 k^{2} - 8 k < 0 - 96$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a k^{2} + b k + c < 0$

Aggiungi $- 96$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Aggiungi $- 96$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < - 96 + 96$

Semplifica l'espressione

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ , sono:

$a$ = -4

$b$ = -8

$c$ = 96

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a k^{2} + b k + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = - 8$
$c = 96$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 16 * 96)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 1536)) / (2 * - 4)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 + 1536)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (2 * - 4)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

per ottenere il risultato:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(1600)}$

Semplifica $1600$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>1600</math>:

La scomposizione in fattori primi di $1600$ è $2^{6} \cdot 5^{2}$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{1600} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 2 \cdot 5$

$4 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 5$

$8 \cdot 5 = 40$

5. Risolvi l'equazione per k

$k = (8 \pm 40) / (- 8)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$ e $k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

$k_{1} = (48) / (- 8)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{1} = \frac{48}{-} 8$

$k_{1} = - 6$

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{2} = (- 32) / (- 8)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{2} = - \frac{32}{-} 8$

$k_{2} = 4$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: -6, 4.

Poiché il coefficiente di $a$ è negativo ( $a$ =-4), questa è una disequazione "negativa" di secondo grado e la parabola punta verso il basso, come una faccia triste!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ ha un segno di disequazione $<$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sotto l'asse delle x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (1600)

5. Risolvi l'equazione per k

6. Calcola gli intervalli

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(1600)}$