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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Soluzione:

x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}, x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}

x_{1}=\frac{-3}{2}+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{6} , x_{2}=\frac{-3}{2}+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{6}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

10 passaggi aggiuntivi

$5 x^{2} + 8 x + 15 > x^{2} - 4 x$

Aggiungi $15$ a entrambi i lati:

$(5 x^{2} + 8 x + 15) + 4 x > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Raggruppa termini simili:

$5 x^{2} + (8 x + 4 x) + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > x^{2}$

Sottrai 15 da entrambi i lati:

$(5 x^{2} + 12 x + 15) - x^{2} > (x^{2}) - x^{2}$

Raggruppa termini simili:

$(5 x^{2} - x^{2}) + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

Sottrai 15 da entrambi i lati:

$(4 x^{2} + 12 x + 15) - 15 > 0 - 15$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{2} + 12 x > 0 - 15$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c > 0$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 12 x + 15 > - 15 + 15$

Semplifica l'espressione

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$ , sono:

$a$ = 4

$b$ = 12

$c$ = 15

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c > 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 4$
$b = 12$
$c = 15$

$x = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 16 * 15)) / (2 * 4)$

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 240)) / (2 * 4)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (2 * 4)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (8)$

per ottenere il risultato:

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / 8$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 96)}$

Semplifica $- 96$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 96$ è $4 i \cdot \sqrt{6}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 96} = \sqrt{(- 1) \cdot 96}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 96} = i \sqrt{96}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{96} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{6}$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (- 12 \pm 4 i * s q r t (6)) / 8$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (- 12 + 4 i * s q r t (6)) / 8$ e $x_{2} = (- 12 - 4 i * s q r t (6)) / 8$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{1} = \frac{(- 12 + 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

Scomponi la frazione:

$x_{1} = \frac{- 12}{8} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{1} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Semplifica la frazione:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{2} = \frac{(- 12 - 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

Scomponi la frazione:

$x_{2} = \frac{- 12}{8} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{2} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Semplifica la frazione:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

6. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

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