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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Soluzione:

x_{1} = 2 + i, x_{2} = 2 - i

x_{1}=2+i , x_{2}=2-i

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

9 passaggi aggiuntivi

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 \cdot (x - 1)$

Espandi le parentesi:

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 x + 4 \cdot - 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 x - 4$

Sottrai 11 da entrambi i lati:

$(3 x^{2} - 8 x + 11) - 4 x > = (4 x - 4) - 4 x$

Raggruppa termini simili:

$3 x^{2} + (- 8 x - 4 x) + 11 > = (4 x - 4) - 4 x$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = (4 x - 4) - 4 x$

Raggruppa termini simili:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = (4 x - 4 x) - 4$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = - 4$

Sottrai 11 da entrambi i lati:

$(3 x^{2} - 12 x + 11) - 11 > = - 4 - 11$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} - 12 x > = - 4 - 11$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} - 12 x > = - 15$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 12 x \geq - 15$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 12 x + 15 \geq - 15 + 15$

Semplifica l'espressione

$3 x^{2} - 12 x + 15 \geq 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $3 x^{2} - 12 x + 15 \geq 0$ , sono:

$a$ = 3

$b$ = -12

$c$ = 15

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = - 12$
$c = 15$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 12^{2} - 4 * 3 * 15)) / (2 * 3)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 4 * 3 * 15)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 12 * 15)) / (2 * 3)$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 180)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 36)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 36)) / (6)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (12 \pm s q r t (- 36)) / 6$

per ottenere il risultato:

$x = (12 \pm s q r t (- 36)) / 6$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 36)}$

Semplifica $- 36$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 36$ è $6 i$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 36} = \sqrt{(- 1) \cdot 36}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 36} = i \sqrt{36}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{36} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3 i$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 3 i = 6 i$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (12 \pm 6 i) / 6$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (12 + 6 i) / 6$ e $x_{2} = (12 - 6 i) / 6$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{1} = \frac{(12 + 6 i)}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{1} = \frac{12}{6} + \frac{6 i}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{1} = \frac{(2 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{6 i}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{1} = 2 + \frac{6 i}{6}$

Semplifica la frazione:

$x_{1} = 2 + i$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{2} = \frac{(12 - 6 i)}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{2} = \frac{12}{6} + \frac{- 6 i}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{2} = \frac{(2 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{- 6 i}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{2} = 2 + \frac{- 6 i}{6}$

Semplifica la frazione:

$x_{2} = 2 - i$

6. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

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