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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Soluzione:

x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{6}, x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}

x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{6} , x_{2}=\frac{-1}{2}+\frac{-i\sqrt{3}}{6}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c > 0$

Aggiungi $- 1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 x > - 1$

Aggiungi $- 1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 x + 1 > - 1 + 1$

Semplifica l'espressione

$3 x^{2} + 3 x + 1 > 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $3 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ , sono:

$a$ = 3

$b$ = 3

$c$ = 1

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c > 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = 3$
$c = 1$

$x = (- 3 \pm s q r t (3^{2} - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 12 * 1)) / (2 * 3)$

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 12)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / (6)$

per ottenere il risultato:

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / 6$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 3)}$

Semplifica $- 3$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 3$ è $i \sqrt{3}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 3} = \sqrt{(- 1) \cdot 3}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 3} = i \sqrt{3}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{3} = i \sqrt{3}$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (- 3 \pm i s q r t (3)) / 6$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (- 3 + i s q r t (3)) / 6$ e $x_{2} = (- 3 - i s q r t (3)) / 6$

2 passaggi aggiuntivi

$x_{1} = \frac{(- 3 + i \sqrt{3})}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{1} = \frac{- 3}{6} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

2 passaggi aggiuntivi

$x_{2} = \frac{(- 3 - i \sqrt{3})}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{2} = \frac{- 3}{6} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

6. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado