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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Soluzione:

y_{1} = 2 + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{14}, y_{2} = 2 + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{14}

y_{1}=2+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{14} , y_{2}=2+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{14}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a y^{2} + b y + c > 0$

Sottrai $1$ da entrambi i lati della disequazione:

$2 y^{2} - 8 y + 16 > 1$

Sottrai $1$ da entrambi i lati:

$2 y^{2} - 8 y + 16 - 1 > 1 - 1$

Semplifica l'espressione

$2 y^{2} - 8 y + 15 > 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $2 y^{2} - 8 y + 15 > 0$ , sono:

$a$ = 2

$b$ = -8

$c$ = 15

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a y^{2} + b y + c > 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = - 8$
$c = 15$

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * 2 * 15)) / (2 * 2)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * 2 * 15)) / (2 * 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 8 * 15)) / (2 * 2)$

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 120)) / (2 * 2)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 56)) / (2 * 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 56)) / (4)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$y = (8 \pm s q r t (- 56)) / 4$

per ottenere il risultato:

$y = (8 \pm s q r t (- 56)) / 4$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 56)}$

Semplifica $- 56$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 56$ è $2 i \cdot \sqrt{14}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 56} = \sqrt{(- 1) \cdot 56}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 56} = i \sqrt{56}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{56} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7} = 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 7}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 7} = 2 i \cdot \sqrt{14}$

5. Risolvi l'equazione per y

$y = (8 \pm 2 i * s q r t (14)) / 4$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $y_{1} = (8 + 2 i * s q r t (14)) / 4$ e $y_{2} = (8 - 2 i * s q r t (14)) / 4$

3 passaggi aggiuntivi

$y_{1} = \frac{(8 + 2 i \cdot \sqrt{14})}{4}$

Scomponi la frazione:

$y_{1} = \frac{8}{4} + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$y_{1} = \frac{(2 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$y_{1} = 2 + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Semplifica la frazione:

$y_{1} = 2 + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{14}$

3 passaggi aggiuntivi

$y_{2} = \frac{(8 - 2 i \cdot \sqrt{14})}{4}$

Scomponi la frazione:

$y_{2} = \frac{8}{4} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$y_{2} = \frac{(2 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$y_{2} = 2 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Semplifica la frazione:

$y_{2} = 2 + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{14}$

6. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (−56)

5. Risolvi l'equazione per y

6. Calcola gli intervalli

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 56)}$