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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Soluzione:

x_{1} = \frac{2}{5} + \frac{- 6}{5} i, x_{2} = \frac{2}{5} + \frac{6}{5} i

x_{1}=\frac{2}{5}+\frac{-6}{5}i , x_{2}=\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 5 x^{2} + 4 x - 8 < 0$ , sono:

$a$ = -5

$b$ = 4

$c$ = -8

2. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 5$
$b = 4$
$c = - 8$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * - 5 * - 8)) / (2 * - 5)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * - 5 * - 8)) / (2 * - 5)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 20 * - 8)) / (2 * - 5)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 160)) / (2 * - 5)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 4 \pm s q r t (- 144)) / (2 * - 5)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 144)) / (- 10)$

per ottenere il risultato:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 144)) / (- 10)$

3. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 144)}$

Semplifica $- 144$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 144$ è $12 i$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 144} = \sqrt{(- 1) \cdot 144}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 144} = i \sqrt{144}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{144} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3 i$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 2 \cdot 3 i = 4 \cdot 3 i$

$4 \cdot 3 i = 12 i$

4. Risolvi l'equazione per x

$x = (- 4 \pm 12 i) / (- 10)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (- 4 + 12 i) / (- 10)$ e $x_{2} = (- 4 - 12 i) / (- 10)$

5 passaggi aggiuntivi

$x_{1} = \frac{(- 4 + 12 i)}{- 10}$

Sposta il segno negativo dal denominatore al numeratore:

$x_{1} = \frac{- (- 4 + 12 i)}{10}$

Espandi le parentesi:

$x_{1} = \frac{(4 - 12 i)}{10}$

Scomponi la frazione:

$x_{1} = \frac{4}{10} + \frac{- 12 i}{10}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{1} = \frac{(2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{- 12 i}{10}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{1} = \frac{2}{5} + \frac{- 12 i}{10}$

Semplifica la frazione:

$x_{1} = \frac{2}{5} + \frac{- 6}{5} i$

5 passaggi aggiuntivi

$x_{2} = \frac{(- 4 - 12 i)}{- 10}$

Sposta il segno negativo dal denominatore al numeratore:

$x_{2} = \frac{- (- 4 - 12 i)}{10}$

Espandi le parentesi:

$x_{2} = \frac{(4 + 12 i)}{10}$

Scomponi la frazione:

$x_{2} = \frac{4}{10} + \frac{12 i}{10}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{2} = \frac{(2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{12 i}{10}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{2} = \frac{2}{5} + \frac{12 i}{10}$

Semplifica la frazione:

$x_{2} = \frac{2}{5} + \frac{6}{5} i$

5. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

2. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

3. Semplifica la radice quadrata (−144)

4. Risolvi l'equazione per x

5. Calcola gli intervalli

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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