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Digita un'equazione o un problema

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a

x

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( )

7

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␣

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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

- 5 < x < - 3

-5<x<-3

Notazione di intervallo:

x \in (- 5; - 3)

x∈(-5;-3)

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

17 passaggi aggiuntivi

$(x - 1) \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Espandi le parentesi:

$x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Espandi le parentesi:

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} - x - 1 x + 1 - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Raggruppa termini simili:

$(x^{2} - x^{2}) + (- x - x) + 1 - {(x + 3)}^{2} > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} > 7$

Espandi le parentesi:

$- 2 x + 1 - (x \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

$- 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

Espandi le parentesi:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3) > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) > 7$

Espandi le parentesi:

$- 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 > 7$

Raggruppa termini simili:

$- x^{2} + (- 2 x - 6 x) + (1 - 9) > 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- x^{2} - 8 x - 8 > 7$

Aggiungi $8$ a entrambi i lati:

$(- x^{2} - 8 x - 8) + 8 > 7 + 8$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- x^{2} - 8 x > 7 + 8$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- x^{2} - 8 x > 15$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c > 0$

Sottrai $15$ da entrambi i lati della disequazione:

$- 1 x^{2} - 8 x > 15$

Sottrai $15$ da entrambi i lati:

$- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 15 - 15$

Semplifica l'espressione

$- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$ , sono:

$a$ = -1

$b$ = -8

$c$ = -15

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c > 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = - 8$
$c = - 15$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * - 1 * - 15)) / (2 * - 1)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * - 1 * - 15)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 4 * - 15)) / (2 * - 1)$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 60)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (4)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

per ottenere il risultato:

$x = (8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(4)}$

Semplifica $4$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>4</math>:

La scomposizione in fattori primi di $4$ è $2^{2}$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{4} = \sqrt{2 \cdot 2}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2}} = 2$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (8 \pm 2) / (- 2)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$ e $x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

$x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$

$x_{1} = (10) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{1} = \frac{10}{-} 2$

$x_{1} = - 5$

$x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

$x_{2} = (6) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{2} = \frac{6}{-} 2$

$x_{2} = - 3$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: -5, -3.

Poiché il coefficiente di $a$ è negativo ( $a$ =-1), questa è una disequazione "negativa" di secondo grado e la parabola punta verso il basso, come una faccia triste!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$ ha un segno di disequazione $>$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sopra l'asse x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

Come ci siamo comportati?

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

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