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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

2 < x < 4

2<x<4

Notazione di intervallo:

x \in (2; 4)

x∈(2;4)

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Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

18 passaggi aggiuntivi

$(3 x - 7) \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Espandi le parentesi:

$3 x \cdot (3 x - 7) - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Espandi le parentesi:

$3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Raggruppa termini simili:

$(3 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Moltiplica i coefficienti:

$9 \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Raggruppa termini simili:

$9 x^{2} + (3 \cdot - 7) x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Moltiplica i coefficienti:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Espandi le parentesi:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot 3 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Moltiplica i coefficienti:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Combina termini simili:

$9 x^{2} - 42 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Sottrai 49 da entrambi i lati:

$(9 x^{2} - 42 x + 49) - 2 x^{2} < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Raggruppa termini simili:

$(9 x^{2} - 2 x^{2}) - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Raggruppa termini simili:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 7$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < - 7$

Sottrai 49 da entrambi i lati:

$(7 x^{2} - 42 x + 49) - 49 < - 7 - 49$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 x^{2} - 42 x < - 7 - 49$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c < 0$

Aggiungi $- 56$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Aggiungi $- 56$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x^{2} - 42 x + 56 < - 56 + 56$

Semplifica l'espressione

$7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ , sono:

$a$ = 7

$b$ = -42

$c$ = 56

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 7$
$b = - 42$
$c = 56$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (- 42^{2} - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 28 * 56)) / (2 * 7)$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 1568)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (2 * 7)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (14)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

per ottenere il risultato:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(196)}$

Semplifica $196$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>196</math>:

La scomposizione in fattori primi di $196$ è $2^{2} \cdot 7^{2}$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{196} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}} = 2 \cdot 7$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot 7 = 14$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (42 \pm 14) / 14$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (42 + 14) / 14$ e $x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

$x_{1} = (56) / 14$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{1} = \frac{56}{14}$

$x_{1} = 4$

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{2} = (28) / 14$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{2} = \frac{28}{14}$

$x_{2} = 2$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: 2, 4.

Poiché il coefficiente di $a$ è positivo ( $a$ =7), si tratta di una disequazione "positiva" di secondo grado e la parabola punta verso l'alto, come una faccia sorridente!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ ha un segno di disequazione $<$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sotto l'asse delle x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (196)

5. Risolvi l'equazione per x

6. Calcola gli intervalli

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(196)}$