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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

x < - 1, 165 or x > 1, 165

x<-1,165 or x>1,165

Notazione di intervallo:

x \in (- \infty, - 1, 165) ⋃ (1, 165, \infty)

x∈(-∞,-1,165)⋃(1,165,∞)

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Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

30 passaggi aggiuntivi

$(2 x^{2} - 4) \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Espandi le parentesi:

$2 x^{2} \cdot (2 x^{2} - 4) - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Espandi le parentesi:

$2 x^{2} \cdot 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Raggruppa termini simili:

$(2 \cdot 2) \cdot (x^{2} \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Moltiplica i coefficienti:

$4 \cdot (x^{2} \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Raggruppa termini simili:

$4 x^{4} + (2 \cdot - 4) x^{2} - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Moltiplica i coefficienti:

$4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot (2 x^{2} - 4) < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Espandi le parentesi:

$4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 2 x^{2} - 4 \cdot - 4 < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Moltiplica i coefficienti:

$4 x^{4} - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 4 < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 16 < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Combina termini simili:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < {(x^{2} - 1)}^{2}$

Espandi le parentesi:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{2} \cdot (x^{2} - 1) - 1 \cdot (x^{2} - 1)$

Espandi le parentesi:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{2} \cdot x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot (x^{2} - 1)$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot (x^{2} - 1)$

Espandi le parentesi:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} + 1$

Raggruppa termini simili:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{4} + (- x^{2} - x^{2}) + 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 16 x^{2} + 16 < x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Aggiungi $16$ a entrambi i lati:

$(4 x^{4} - 16 x^{2} + 16) + 2 x^{2} < (x^{4} - 2 x^{2} + 1) + 2 x^{2}$

Raggruppa termini simili:

$4 x^{4} + (- 16 x^{2} + 2 x^{2}) + 16 < (x^{4} - 2 x^{2} + 1) + 2 x^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < (x^{4} - 2 x^{2} + 1) + 2 x^{2}$

Raggruppa termini simili:

$4 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < x^{4} + (- 2 x^{2} + 2 x^{2}) + 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$4 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < x^{4} + 1$

Sottrai 16 da entrambi i lati:

$(4 x^{4} - 14 x^{2} + 16) - x^{4} < (x^{4} + 1) - x^{4}$

Raggruppa termini simili:

$(4 x^{4} - x^{4}) - 14 x^{2} + 16 < (x^{4} + 1) - x^{4}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < (x^{4} + 1) - x^{4}$

Raggruppa termini simili:

$3 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < (x^{4} - x^{4}) + 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{4} - 14 x^{2} + 16 < 1$

Sottrai 16 da entrambi i lati:

$(3 x^{4} - 14 x^{2} + 16) - 16 < 1 - 16$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{4} - 14 x^{2} < 1 - 16$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{4} - 14 x^{2} < - 15$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c < 0$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 14 x^{2} + 4 < - 15$

Aggiungi $- 15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 14 x^{2} + 4 + 15 < - 15 + 15$

Semplifica l'espressione

$- 14 x^{2} + 19 < 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 14 x^{2} + 0 x + 19 < 0$ , sono:

$a$ = -14

$b$ = 0

$c$ = 19

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 14$
$b = 0$
$c = 19$

$x = (- 0 \pm s q r t (0^{2} - 4 * - 14 * 19)) / (2 * - 14)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * - 14 * 19)) / (2 * - 14)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - - 56 * 19)) / (2 * - 14)$

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - - 1064)) / (2 * - 14)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 0 \pm s q r t (0 + 1064)) / (2 * - 14)$

$x = (- 0 \pm s q r t (1064)) / (2 * - 14)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 0 \pm s q r t (1064)) / (- 28)$

per ottenere il risultato:

$x = (- 0 \pm s q r t (1064)) / (- 28)$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(1064)}$

Semplifica $1064$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>1064</math>:

La scomposizione in fattori primi di $1064$ è $2^{3} \cdot 7 \cdot 19$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{1064} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 19}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 19} = \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 19}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 19} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 19}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 \cdot \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 19} = 2 \cdot \sqrt{14 \cdot 19}$

$2 \cdot \sqrt{14 \cdot 19} = 2 \cdot \sqrt{266}$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (- 0 \pm 2 * s q r t (266)) / (- 28)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (- 0 + 2 * s q r t (266)) / (- 28)$ e $x_{2} = (- 0 - 2 * s q r t (266)) / (- 28)$

$x_{1} = (- 0 + 2 * s q r t (266)) / (- 28)$

Iniziamo calcolando l'espressione all'interno delle parentesi.

$x_{1} = (- 0 + 2 * s q r t (266)) / (- 28)$

$x_{1} = (- 0 + 2 * 16, 31) / (- 28)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{1} = (- 0 + 2 * 16, 31) / (- 28)$

$x_{1} = (- 0 + 32, 619) / (- 28)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{1} = (- 0 + 32, 619) / (- 28)$

$x_{1} = (32, 619) / (- 28)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{1} = 32, \frac{619}{-} 28$

$x_{1} = - 1, 165$

$x_{2} = (- 0 - 2 * s q r t (266)) / (- 28)$

$x_{2} = (- 0 - 2 * 16, 31) / (- 28)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{2} = (- 0 - 2 * 16, 31) / (- 28)$

$x_{2} = (- 0 - 32, 619) / (- 28)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x_{2} = (- 0 - 32, 619) / (- 28)$

$x_{2} = (- 32, 619) / (- 28)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x_{2} = - 32, \frac{619}{-} 28$

$x_{2} = 1, 165$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: -1,165, 1,165.

Poiché il coefficiente di $a$ è negativo ( $a$ =-14), questa è una disequazione "negativa" di secondo grado e la parabola punta verso il basso, come una faccia triste!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $- 14 x^{2} + 0 x + 19 < 0$ ha un segno di disequazione $<$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sotto l'asse delle x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (1064)

5. Risolvi l'equazione per x

6. Calcola gli intervalli

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(1064)}$