Solusi - Propiedades de las elipses

$$a$$ représente le rayon le plus long de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe majeur. On l'appelle l'axe semi-majeur.
Pour trouver la valeur de $$a$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}=1$$
$$a^2=36$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$a=6$$

Debido a que $$a$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse horizontal, el eje mayor se ejecuta paralelo al eje x y pasa a través de los vértices de la elipse. Encuentra los vértices sumando y restando $$a$$ a la x-coordenada $$\left(h\right)$$ del centro.

Pour trouver le sommet_1, ajoutez $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Sommet_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(2,1\right)$$
$$h=2$$
$$k=1$$
$$a=6$$
Sommet_1: $$\left(2+6,1\right)$$
Sommet_1: $$\left(8;1\right)$$

Pour trouver le sommet_2, soustrayez $$a$$ de la coordonnée x ($$h$$) du centre:
Sommet_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(2,1\right)$$
$$h=2$$
$$k=1$$
$$a=6$$
Sommet_2: $$\left(2-6,1\right)$$
Sommet_2: $$\left(-4;1\right)$$

$$b$$ représente le rayon le plus court de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe mineur. On l'appelle l'axe semi-mineur.
Pour trouver la valeur de $$b$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}=1$$
$$b^2=9$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$b=3$$
Comme b représente une distance, elle a seulement une valeur positive.

在横向椭圆中，次轴平行于y轴并通过椭圆的准顶点，找出准顶点，可以通过在y坐标$$\left(k\right)$$的基础上加上或减去$$b$$。

要找到准顶点_1，在中心的y坐标$$\left(k\right)$$内加上$$b$$，准顶点_1:$$\left(h,k+b\right)$$，中心:$$\left(h,k\right)=\left(2;1\right)$$。$$h=2$$、$$k=1$$、$$b=3$$，所以，准顶点_1：$$\left(2,1+3\right)$$，找到的准顶点_1为：$$\left(2;4\right)$$。

要找到准顶点_2，从中心的y坐标$$\left(k\right)$$内减去$$b$$，准顶点_2：$$\left(h,k-b\right)$$、中心：$$\left(h,k\right)=\left(2;1\right)$$。$$h=2$$、$$k=1$$、$$b=3$$，所以，准顶点_2：$$\left(2,1-3\right)$$，找到的准顶点_2为：$$\left(2;-2\right)$$。

焦距是指从椭圆的中心到每个焦点的距离，它通常用$$f$$表示，要找到$$f$$，可以使用该公式：$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$。$$a^2=36$$
$$b^2=9$$，然后将$$a^2$$和$$b^2$$插入公式并简化。

$$f=\sqrt{36-9}$$

$$f=\sqrt{27}$$

$$f=5,196$$

Debido a que $$f$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

在横向椭圆中，主轴平行于x轴并通过两焦点，要找到焦点，可以通过在x坐标$$\left(h\right)$$的基础上加上或减去$$f$$。

要找到焦点_1，在中心的x坐标$$\left(h\right)$$内加上$$f$$，焦点_1：$$\left(h+f,k\right)$$、中心：$$\left(h,k\right)=\left(2;1\right)$$。$$h=2$$、$$k=1$$、$$f=5,196$$，所以，焦点_1：$$\left(2+5,196,1\right)$$，找到的焦点_1为：$$\left(7,196;1\right)$$。

要找到焦点_2，在中心的x坐标$$\left(h\right)$$中减去$$f$$，焦点_2：$$\left(h-f,k\right)$$、中心：$$\left(h,k\right)=\left(2;1\right)$$。$$h=2$$、$$k=1$$、$$f=5,196$$，所以，焦点_2：$$\left(2-5,196,1\right)$$，寻找到的焦点_2为：$$\left(-3,196;1\right)$$。

Usa la fórmula para el área de una elipse para encontrar el área de la elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=6$$
$$b=3$$
Sustituye $$a$$ y $$b$$ en la fórmula y simplifica:

$$\pi ·6·3$$

$$\pi ·18$$

El área equivale a $$18\pi$$

Para encontrar la(s) intercepción(es) de x, introduce $$0$$ para $$y$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$x$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(0-1\right)}^2}{9}=1$$

$$x_1=7,657$$

$$x_2=-3,657$$

Para encontrar la(s) intercepción(es) de y, introduce $$0$$ para $$x$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$y$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(0-2\right)}^2}{36}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}=1$$

$$y_1=3,828$$

$$y_2=-1,828$$

Para encontrar la excentricidad, usa la fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=36$$
$$b^2=9$$
$$a=6$$
Sustituye $$a^2$$ , $$b^2$$ y $$a$$ en la fórmula:

$$\frac{\sqrt{36-9}}{6}$$

$$\frac{\sqrt{27}}{6}$$

$$\frac{5,196}{6}$$

$$0,866$$

La excentricidad es igual a $$0,866$$