Solusi - Propiedades de las elipses

$$a$$ representa el radio más largo de la elipse, que es igual a la mitad del eje mayor.
Esto se llama el semi-eje mayor.
Para encontrar el valor de $$a$$, utiliza la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(y+8\right)}^2}{8}=1$$
$$a^2=8$$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$$a=2,828$$

Debido a que $$a$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje mayor se ejecuta paralelo al eje y y pasa a través de los vértices de la elipse. Encuentra los vértices sumando y restando $$a$$ a la y-coordenada ($$k$$) del centro.

Para encontrar el vértice_1, suma $$a$$ a la y-coordenada ($$k$$) del centro:
Vértice_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3,-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$a=2.828$$
Vértice_1: $$\left(3,-8+2.828\right)$$
Vértice_1: $$\left(3;-5.172\right)$$

Para encontrar el vértice_2, resta $$a$$ de la y-coordenada ($$k$$) del centro:
Vértice_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$a=2,828$$
Vértice_2: $$\left(3,-8-2,828\right)$$
Vértice_2: $$\left(3;-10,828\right)$$

$$b$$ rappresenta il raggio più corto dell'ellisse, che è uguale alla metà dell'asse minore. Questo si chiama semiasse minore.
Per trovare il valore di $$b$$, usa la forma standard dell'ellisse verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(y+8\right)}^2}{8}=1$$
$$b^2=3$$
Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione:
$$b=1,732$$
Poiché b rappresenta una distanza, ha solo un valore positivo.

In un'ellisse verticale, l'asse minore corre parallelo all'asse x e passa attraverso i co-vertici dell'ellisse.
Trova i co-vertici aggiungendo e sottraendo $$b$$ alla coordinata x ($$h$$) del centro.

Per trovare co-vertice_1, aggiungi $$b$$ alla coordinata x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$b=1,732$$
Co-vertice_1: $$\left(3+1,732,-8\right)$$
Co-vertice_1: $$\left(4,732;-8\right)$$

Per trovare co-vertice_2, sottrai $$b$$ alla coordinata x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$b=1,732$$
Co-vertice_2: $$\left(3-1,732,-8\right)$$
Co-vertice_2: $$\left(1,268;-8\right)$$

La lunghezza focale è la distanza dal centro dell'ellisse a ciascun punto focale ed è solitamente rappresentata da $$f$$.

Per trovare $$f$$, usa la formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=8$$
$$b^2=3$$
Inserisci $$a^2$$ e $$b^2$$ nella formula e semplifica:

$$f=\sqrt{8-3}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2,236$$

Debido a que $$f$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

In un'ellisse verticale, l'asse maggiore corre parallelo all'asse y e passa attraverso i fuochi.
Trova i fuochi aggiungendo e sottraendo $$f$$ alla coordinata y $$\left(k\right)$$ del centro.

Pour trouver le foyer_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Foyer_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(3;-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$f=2,236$$
Foyer_1: $$\left(3,-8+2,236\right)$$
Foyer_1: $$\left(3;-5,764\right)$$

Pour trouver le foyer_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Foyer_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(3;-8\right)$$
$$h=3$$
$$k=-8$$
$$f=2,236$$
Foyer_2: $$\left(3,-8-2,236\right)$$
Foyer_2: $$\left(3;-10,236\right)$$

Usa la fórmula para el área de una elipse para encontrar el área de la elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=2,828$$
$$b=1,732$$
Sustituye $$a$$ y $$b$$ en la fórmula y simplifica:

$$\pi ·2,828·1,732$$

$$\pi ·4,898$$

El área equivale a $$4,898\pi$$

Para encontrar la(s) intercepción(es) de x, introduce $$0$$ para $$y$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$x$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(y+8\right)}^2}{8}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(0+8\right)}^2}{8}=1$$

$$\sqrt{\left(-7\right)}$$

Para encontrar la(s) intercepción(es) de y, introduce $$0$$ para $$x$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$y$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(y+8\right)}^2}{8}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{3}+\frac{{\left(y+8\right)}^2}{8}=1$$

$$\sqrt{\left(-2\right)}$$

Para encontrar la excentricidad, usa la fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=8$$
$$b^2=3$$
$$a=2,828$$
Sustituye $$a^2$$ , $$b^2$$ y $$a$$ en la fórmula:

$$\frac{\sqrt{8-3}}{2,828}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{2,828}$$

$$\frac{2,236}{2,828}$$

$$0,791$$

La excentricidad es igual a $$0,791$$