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Properties of ellipses

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos, llamados puntos focales o focos, suman un valor constante que es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.
Por ejemplo, supongamos que tenemos un eje mayor que mide

12

unidades de largo. Los focos de la elipse siempre están en el eje mayor. La elipse se formaría por líneas imaginarias desde ambos focos hasta el mismo punto en la elipse, de tal manera que sus longitudes totales sean iguales a

12

, la longitud del eje mayor. Las longitudes de las líneas podrían ser

6

6

4

8

1.5

10.5

, o literalmente cualquier combinación de números racionales positivos que sumen

12

, de las cuales hay un número infinito.
definition

Forma estándar

Forma estándar de una elipse horizontal: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Forma estándar de una elipse vertical: $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Nota: La ecuación de la forma estándar de una elipse está compuesta por dos fracciones, en las cuales

a^{2}

es el mayor de los dos denominadores y

b^{2}

es el menor de los dos denominadores. La forma estándar de una elipse requiere que el lado derecho de la ecuación sea igual a

1

Puntos

Centro $(h, k)$ : El punto en el centro de una elipse. $h$ representa la coordenada x y $k$ representa la coordenada y.
Vértices: Las intersecciones del eje mayor con la elipse.
Co-vértices: Las intersecciones del eje menor con la elipse.

Líneas, segmentos de línea y ejes

El eje mayor $(2 a)$ : el más largo de los dos ejes que componen una elipse. Va de un lado de la elipse, a través de su centro, al otro lado de la elipse en su punto más ancho.
El eje menor $(2 b)$ : el más corto de los dos ejes que componen una elipse. Corre perpendicular al eje mayor, de un lado de la elipse, a través de su centro, al otro lado de la elipse.
Semi-eje mayor $(a)$ : la mitad de la longitud del eje mayor.
Semi-eje menor $(b)$ : la mitad de la longitud del eje menor.
Longitud focal $(f)$ : la distancia desde el centro de una elipse a uno de sus focos. $f = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Parámetro focal $(p)$ : la distancia desde un foco a la directriz correspondiente. $p = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Directriz: Dos líneas fuera de la elipse que corren perpendicular al eje mayor y se utilizan en conjunción con los focos para definir la elipse.
En una elipse horizontal: $x = h \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
En una elipse vertical: $y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ .
Latus rectum: Los segmentos de línea que corren perpendicularmente al eje mayor, a través de los focos, de modo que sus extremos se encuentren en la elipse. Sus longitudes son iguales a $\frac{2 \cdot b^{2}}{a}$ .

Otras propiedades

Área: $π \cdot a \cdot b$
Excentricidad $(e)$ : Una medida de cuán alargada es una elipse, definida por la siguiente proporción: 1. La distancia desde el centro a cualquiera de los focos a 2. La distancia desde el centro a cualquiera de los vértices: $\frac{\sqrt{(a^{2} - b^{2})}}{a}$
La excentricidad de una elipse siempre está entre $0$ y $1 (0 < e < 1)$ .

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