Kalkulator Tiger Algebra

Kombinasi adalah cara mengatur item dari satu himpunan tanpa memperhatikan urutan. Contohnya adalah memilih tiga angka acak dari suatu daftar berisi sembilan angka. Tidak akan menjadi masalah jika Anda memilih $$1$$ lalu $$7$$ lalu $$4$$ atau jika Anda memilih $$7$$ lalu $$1$$ lalu $$4$$.
Permutasi adalah cara mengatur elemen dari satu himpunan dengan memperhatikan urutan. Contohnya adalah kode untuk kunci. Jika urutan kode adalah $$1,7,4$$, kode tidak bisa dimasukkan dengan urutan $$1,4,7$$ atau $$4,7,1$$ ataupun urutan lainnya.
Selama ada lebih dari satu item dalam satu himpunan, jumlah permutasi akan selalu lebih banyak dari jumlah kombinasi.

Baik kombinasi maupun permutasi dapat terjadi dengan atau tanpa pengulangan, artinya keduanya bisa beberapa kali berisi satu item atau lebih, atau bisa juga tidak. Meskipun cara ini seolah tidak akan membuat banyak perbedaan, pengulangan item dalam satu himpunan cukup drastis mengubah cara pendekatan kita.

Notasi
$$n$$ biasanya menyatakan jumlah total item dalam satu himpunan.
$$k$$ biasanya menyatakan jumlah item dalam subhimpunan yang dipilih.
$$C$$ biasanya menyatakan kombinasi.
$$P$$ biasanya menyatakan permutasi.

$$P\left(n,k\right)$$ menyatakan banyaknya permutasi yang berbeda dari himpunan bagian ($$k$$) dari himpunan yang lebih besar ($$n$$) dan dapat juga ditulis sebagai:
GAMBAR TIDAK ADA
$$C\left(n,k\right)$$ menyatakan banyaknya kombinasi yang berbeda dari suatu himpunan bagian ($$k$$) dari himpunan yang lebih besar ($$n$$) dan dapat juga ditulis sebagai:
GAMBAR TIDAK ADA
Notasi ini juga kadang-kadang disebut sebagai "n memilih k".

Rumus
Kita menggunakan fungsi faktorial saat memecahkan soal permutasi dan kombinasi.

Permutasi dengan pengulangan
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Misalnya: Berapa banyak permutasi yang berbeda dari subhimpunan $$3$$ dari total $$9$$ item yang ada ketika pengulangan dapat terjadi?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutasi tanpa pengulangan
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Misalnya: Berapa banyak permutasi yang berbeda dari subhimpunan $$3$$ dari total $$9$$ item yang ada ketika pengulangan tidak dapat terjadi?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Kombinasi dengan pengulangan
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Misalnya: Berapa banyak kombinasi yang berbeda dari subhimpunan $$3$$ dari total $$9$$ item yang ada ketika pengulangan dapat terjadi?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Kombinasi tanpa pengulangan tautan ke latihan ini
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Misalnya: Berapa banyak kombinasi yang berbeda dari subhimpunan $$3$$ dari total $$9$$ item yang ada ketika pengulangan tidak dapat terjadi?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$