Megoldás - Az ellipszis tulajdonságai

$$a$$ az ellipszis hosszabb sugarát jelöli, amely a főtengely felével egyenlő. Ezt fél-főtengelynek nevezzük.
A $$a$$ értékének meghatározásához használja a vízszintes ellipszis standard alakját:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{71}=1$$
$$a^2=121$$
Vonjon négyzetgyököt az egyenlet mindkét oldalából:
$$a=11$$

Mivel $$a$$ távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Vízszintes ellipszis esetén a főtengely párhuzamos az x-tengellyel, és áthalad az ellipszis csúcsain. A csúcsok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$a$$ -t a középpont x-koordinátájából $$\left(h\right)$$.

Az 1. csúcs meghatározásához adja hozzá $$a$$ -t a középpont x-koordinátájához $$\left(h\right)$$:
1. csúcs: $$\left(h+a,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=11$$
1. csúcs: $$\left(0+11,0\right)$$
1. csúcs: $$\left(11,0\right)$$

A 2. csúcs meghatározásához vonja ki $$a$$ -t a középpont x-koordinátájából ($$h$$):
2. csúcs: $$\left(h-a,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=11$$
2. csúcs: $$\left(0-11,0\right)$$
2. csúcs: $$\left(-11,0\right)$$

$$b$$ az ellipszis rövidebb sugarát jelöli, amely a melléktengely felével egyenlő. Ezt fél-melléktengelynek nevezzük.
A $$b$$ értékének meghatározásához használja a vízszintes ellipszis standard alakját:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{71}=1$$
$$b^2=71$$
Vonjon négyzetgyököt az egyenlet mindkét oldalából:
$$b=8,426$$
Mivel b távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Vízszintes ellipszis esetén a melléktengely párhuzamos az y-tengellyel, és áthalad az ellipszis mellékcsúcsain.
A mellékcsúcsok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$b$$ -t a középpont y-koordinátájából $$\left(k\right)$$.

Az 1. mellékcsúcs meghatározásához adja hozzá $$b$$ -t a középpont y-koordinátájához $$\left(k\right)$$:
1. mellékcsúcs: $$\left(h,k+b\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=8.426$$
1. mellékcsúcs: $$\left(0,0+8.426\right)$$
1. mellékcsúcs: $$\left(0,8.426\right)$$

A 2. mellékcsúcs meghatározásához vonja ki $$b$$ -t a középpont y-koordinátájából $$\left(k\right)$$:
2. mellékcsúcs: $$\left(h,k-b\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=8.426$$
2. mellékcsúcs: $$\left(0,0-8.426\right)$$
2. mellékcsúcs: $$\left(0,-8.426\right)$$

A fókusztávolság az ellipszis középpontjától az egyes fókuszpontokig mért távolság, és általában $$f$$ -fel jelöljük.

A $$f$$ meghatározásához használja a képletet:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=121$$
$$b^2=71$$
Helyettesítse be $$a^2$$ és $$b^2$$ értékét a képletbe, majd egyszerűsítse:

$$f=\sqrt{121-71}$$

$$f=\sqrt{50}$$

$$f=7,071$$

Mivel $$f$$ távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Vízszintes ellipszis esetén a főtengely párhuzamos az x-tengellyel, és áthalad a fókuszokon.
A fókuszok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$f$$ -et a középpont x-koordinátájából $$\left(h\right)$$.

Az 1. fókusz meghatározásához adja hozzá $$f$$ -et a középpont x-koordinátájához $$\left(h\right)$$:
1. fókusz: $$\left(h+f,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=7.071$$
1. fókusz: $$\left(0+7.071,0\right)$$
1. fókusz: $$\left(7.071,0\right)$$

A 2. fókusz meghatározásához vonja ki $$f$$ -et a középpont x-koordinátájából $$\left(h\right)$$:
2. fókusz: $$\left(h-f,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=7.071$$
2. fókusz: $$\left(0-7.071,0\right)$$
2. fókusz: $$\left(-7.071,0\right)$$

Az ellipszis területének meghatározásához használja az ellipszis területképletét:
$$\pi ·a·b$$
$$a=$$
$$b=$$
Helyettesítse be $$a$$ és $$b$$ értékét a képletbe, majd egyszerűsítse:

$$\pi ·11·8,426$$

$$\pi ·92,686$$

A terület értéke $$92,686\pi$$

A(z) x-tengelymetszet(ek) meghatározásához helyettesítsen $$0$$ -t $$y$$ helyére az ellipszis standard egyenletébe, majd oldja meg a kapott másodfokú egyenletet $$x$$ -re.
Kattintson ide a másodfokú egyenlet lépésről lépésre történő magyarázatához.

$$\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{71}=1$$

$$\frac{x^2}{121}+\frac{0^2}{71}=1$$

$$x_1=11$$

$$x_2=-11$$

A(z) y-tengelymetszet(ek) meghatározásához helyettesítsen $$0$$ -t $$x$$ helyére az ellipszis standard egyenletébe, majd oldja meg a kapott másodfokú egyenletet $$y$$ -ra.
Kattintson ide a másodfokú egyenlet lépésről lépésre történő magyarázatához.

$$\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{71}=1$$

$$\frac{0^2}{121}+\frac{y^2}{71}=1$$

$$y_1=8,426$$

$$y_2=-8,426$$

Az excentricitás meghatározásához használja a képletet:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=121$$
$$b^2=71$$
$$a=11$$
Helyettesítse be $$a^2$$, $$b^2$$ és $$a$$ értékét a képletbe:

$$\frac{\sqrt{121-71}}{11}$$

$$\frac{\sqrt{50}}{11}$$

$$\frac{7,071}{11}$$

$$0,643$$

Az excentricitás értéke $$0,643$$