Megoldás - Az ellipszis tulajdonságai

$$h$$ az origótól mért x-eltolást jelöli.
$$k$$ az origótól mért y-eltolást jelöli.
A $$h$$ és $$k$$ értékének meghatározásához használja a függőleges ellipszis standard alakját:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Középpont: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ az ellipszis hosszabb sugarát jelöli, amely a főtengely felével egyenlő.
Ezt fél-főtengelynek nevezzük.
A $$a$$ értékének meghatározásához használja a függőleges ellipszis standard alakját:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$
$$a^2=16$$
Vonjon négyzetgyököt az egyenlet mindkét oldalából:
$$a=4$$

Mivel $$a$$ távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Függőleges ellipszis esetén a főtengely párhuzamos az y-tengellyel, és áthalad az ellipszis csúcsain. A csúcsok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$a$$ -t a középpont y-koordinátájából ($$k$$).

Az 1. csúcs meghatározásához adja hozzá $$a$$ -t a középpont y-koordinátájához ($$k$$):
1. csúcs: $$\left(h,k+a\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=4$$
1. csúcs: $$\left(0,0+4\right)$$
1. csúcs: $$\left(0,4\right)$$

A 2. csúcs meghatározásához vonja ki $$a$$ -t a középpont y-koordinátájából ($$k$$):
2. csúcs: $$\left(h,k-a\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=4$$
2. csúcs: $$\left(0,0-4\right)$$
2. csúcs: $$\left(0,-4\right)$$

$$b$$ az ellipszis rövidebb sugarát jelöli, amely a melléktengely felével egyenlő. Ezt fél-melléktengelynek nevezzük.
A $$b$$ értékének meghatározásához használja a függőleges ellipszis standard alakját:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$
$$b^2=4$$
Vonjon négyzetgyököt az egyenlet mindkét oldalából:
$$b=2$$
Mivel b távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Függőleges ellipszis esetén a melléktengely párhuzamos az x-tengellyel, és áthalad az ellipszis mellékcsúcsain.
A mellékcsúcsok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$b$$ -t a középpont x-koordinátájából ($$h$$).

Az 1. mellékcsúcs meghatározásához adja hozzá $$b$$ -t a középpont x-koordinátájához ($$h$$):
1. mellékcsúcs: $$\left(h+b,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
1. mellékcsúcs: $$\left(0+2,0\right)$$
1. mellékcsúcs: $$\left(2,0\right)$$

A 2. mellékcsúcs meghatározásához vonja ki $$b$$ -t a középpont x-koordinátájából ($$h$$):
2. mellékcsúcs: $$\left(h-b,k\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
2. mellékcsúcs: $$\left(0-2,0\right)$$
2. mellékcsúcs: $$\left(-2,0\right)$$

A fókusztávolság az ellipszis középpontjától az egyes fókuszpontokig mért távolság, és általában $$f$$ -fel jelöljük.

A $$f$$ meghatározásához használja a képletet:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
Helyettesítse be $$a^2$$ és $$b^2$$ értékét a képletbe, majd egyszerűsítse:

$$f=\sqrt{16-4}$$

$$f=\sqrt{12}$$

$$f=3,464$$

Mivel $$f$$ távolságot jelöl, csak pozitív értéke lehet.

Függőleges ellipszis esetén a főtengely párhuzamos az y-tengellyel, és áthalad a fókuszokon.
A fókuszok meghatározásához adja hozzá, illetve vonja ki $$f$$ -et a középpont y-koordinátájából $$\left(k\right)$$.

Az 1. fókusz meghatározásához adja hozzá $$f$$ -et a középpont y-koordinátájához $$\left(k\right)$$:
1. fókusz: $$\left(h,k+f\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=3.464$$
1. fókusz: $$\left(0,0+3.464\right)$$
1. fókusz: $$\left(0,3.464\right)$$

A 2. fókusz meghatározásához vonja ki $$f$$ -et a középpont y-koordinátájából $$\left(k\right)$$:
2. fókusz: $$\left(h,k-f\right)$$
Középpont: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=3.464$$
2. fókusz: $$\left(0,0-3.464\right)$$
2. fókusz: $$\left(0,-3.464\right)$$

Az ellipszis területének meghatározásához használja az ellipszis területképletét:
$$\pi ·a·b$$
$$a=$$
$$b=$$
Helyettesítse be $$a$$ és $$b$$ értékét a képletbe, majd egyszerűsítse:

$$\pi ·4·2$$

$$\pi ·8$$

A terület értéke $$8\pi$$

A(z) x-tengelymetszet(ek) meghatározásához helyettesítsen $$0$$ -t $$y$$ helyére az ellipszis standard egyenletébe, majd oldja meg a kapott másodfokú egyenletet $$x$$ -re.
Kattintson ide a másodfokú egyenlet lépésről lépésre történő magyarázatához.

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{0^2}{16}=1$$

$$x_1=2$$

$$x_2=-2$$

A(z) y-tengelymetszet(ek) meghatározásához helyettesítsen $$0$$ -t $$x$$ helyére az ellipszis standard egyenletébe, majd oldja meg a kapott másodfokú egyenletet $$y$$ -ra.
Kattintson ide a másodfokú egyenlet lépésről lépésre történő magyarázatához.

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$

$$\frac{0^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$$

$$y_1=4$$

$$y_2=-4$$

Az excentricitás meghatározásához használja a képletet:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
$$a=4$$
Helyettesítse be $$a^2$$, $$b^2$$ és $$a$$ értékét a képletbe:

$$\frac{\sqrt{16-4}}{4}$$

$$\frac{\sqrt{12}}{4}$$

$$\frac{3,464}{4}$$

$$0,866$$

Az excentricitás értéke $$0,866$$