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समाधान - वर्गीकरण द्वारा समीकरणों को हल करना

सटीक रूप:

y_{1} = \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2}

y_1=\frac{5}{2}+\frac{5\cdot \sqrt{2}}{2}

y_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2}

y_2=\frac{5}{2}-\frac{5\cdot \sqrt{2}}{2}

दशमलव रूप:

y_{1} = 6.036

y_1=6.036

y_{2} = - 1.036

y_2=-1.036

चरण देखें

चरण-दर-चरण समाधान

1. गुणांकों की पहचान करें

द्विघात समीकरण के मानक रूप, $a x^{2} + b x + c = 0$ , का उपयोग करें, समीकरण के गुणनखंडों को ज्ञात करें:

$4 y^{2} - 20 y - 25 = 0$

$a = 4$
$b = - 20$
$c = - 25$ Please note: This text doesn't require translation as it contains mathematical variables and equations which, according to the guidelines, are universally the same and aren't translated.

2. ए के सहगुणक को 1 के बराबर बनाएं

क्योंकि $a = 4$ , समीकरण के दोनों ओर के सभी गुणनखंडों और स्थिरों को $4$ से विभाजित करें:

$4 y^{2} - 20 y - 25 = 0$

$\frac{4}{4} y^{2} - 20 \frac{y}{4} - \frac{25}{4} = \frac{0}{4}$

व्यंजन को सरल करें

$y^{2} - 5 y - \frac{25}{4} = 0$

गुणांक हैं:
$a = 1$
$b = - 5$
$c = - \frac{25}{4}$

3. समीकरण के दाईं ओर स्थिरांक को स्थानांतरित करें और संयोजित करें।

समीकरण के दोनों ओर $\frac{25}{4}$ सम्मिलित करें:

$y^{2} - 5 y - \frac{25}{4} = 0$

$y^{2} - 5 y - \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = 0 + \frac{25}{4}$

$y^{2} - 5 y = \frac{25}{4}$

4. वर्ग पूरा करें

समीकरण के बाईं ओर को पूर्ण वर्ग त्रिपदी बनाने के लिए, इकठ्ठा बराबर होने वाले नए स्थिरांक की ${(\frac{b}{2})}^{2}$ समीकरण में जोड़े:

$b = - 5$ कृपया ध्यान दें, गणितीय समीकरण कैंटेंट का अनुवाद होने के बावजूद, टैग $औ र$ के बीच की जानकारी का अनुवाद नहीं होता है.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 5}{2})}^{2}$

${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ का उपयोग करें

${(\frac{- 5}{2})}^{2} = \frac{- 5^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 5^{2}}{2^{2}} = \frac{25}{4}$

समीकरण के दोनों ओर $\frac{25}{4}$ जोड़ें:

4 अतिरिक्त steps

$y^{2} - 5 y = \frac{25}{4}$

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

भिन्नों को जोड़ें:

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{(25 + 25)}{4}$

अंशों को जोड़ें:

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{50}{4}$

अंश और हर का महत्तम साधारण गुणनकार खोजें:

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{(25 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)}$

सबसे बड़ा सामान्य गुणनकार बाहर निकालें और रद्द करें:

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$

अब हमारे पास संपूर्ण वर्ग त्रिपदी है, हम इसे संपूर्ण वर्ग रूप में लिख सकते हैं $b$ गुणांक के आधे को जोड़कर, $\frac{b}{2}$ :
$b = - 5$

$\frac{b}{2} = \frac{- 5}{2}$

$y^{2} - 5 y + \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$

${(y - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

5. $x$ के लिए हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: महत्वपूर्ण: एक स्थिरांक का वर्गमूल खोजते समय, हमें दो समाधान मिलते हैं: धनात्मक और ऋणात्मक

${(y - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

$\sqrt{{(y - \frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{2}}$

समीकरण के बाईं ओर वर्ग और वर्गमूल को रद्द करें:

$y - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

दोनों पक्षों में $\frac{5}{2}$ जोड़ें

$y - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

बाएं पक्ष को सरल करें:

$y = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

$y = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{5}{2} \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{5}{2} \pm \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$y = \frac{5}{2} \pm \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$y_{1} = \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2}$
$y_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2}$

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इसे सीखने की क्यों जरूरत है

इनका सबसे मूल फ़ंक्शन में, द्विघात समीकरण वृत्त, दीर्घवृत्त और परवला जैसे आकारों को परिभाषित करते हैं। इन आकारों का उपयोग किसी चलने वाली वस्तु के वक्र को भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि फुटबॉल खिलाड़ी द्वारा लात मारी गई गेंद या तोप की गोली।
किसी वस्तु की अंतरिक्ष में गति के बारे में जब बात होती है, तो अंतरिक्ष से बेहतर स्थान कहां हो सकता है, हमारे सौर मंडल में सूर्य के चारों ओर ग्रहों के क्रांतिचक्र के साथ। द्विघात समीकरण का उपयोग यह स्थापित करने में किया गया था कि ग्रहों के कक्षपथ वृत्ताकार नहीं, दीर्घवृत्ताकार हैं। एक वस्तु का पथ और गति का पता लगाना संभव है, भले ही वह रुक चुकी हो: द्विघात समीकरण यह गणना कर सकता है कि एक वाहन दुर्घटना के समय कितनी तेजी से चल रहा था। इस तरह की जानकारी के साथ, ऑटोमोबाइल उद्योग भविष्य में टकराव रोकने के लिए ब्रेकों का डिजाइन कर सकता है। कई उद्योग द्विघात समीकरण का उपयोग अपने उत्पादों के जीवनकाल और सुरक्षा की भविष्यवाणी करने और इस प्रकार सुधारने के लिए करते हैं।

शब्द और विषय

वर्ग पूरा करके द्विघात समीकरणों का हल करना