समाधान - दीर्घवृत्तों की गुणधर्म

$$a$$ दीर्घवृत्त की लंबी त्रिज्या को प्रतिष्ठापित करता है, जो प्रमुख धुरी के आधे के बराबर होता है।
इसे सेमी-प्रमुख अक्ष कहते हैं।
$$a$$ का मान खोजने के लिए, कार्यक्षेत्रीय दीर्घवृत्त मानक तालिका का उपयोग करें:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
समीकरण का वर्गमूल उभारें:
$$a=8$$

क्योंकि $$a$$ एक दूरी को प्रतिष्ठापन करता है, इसलिए इसका मात्र सकारात्मक मान होता है।

एक उद्दीप्य दीर्गवृत्त में, प्रमुख अक्ष y-अक्ष के समानांतर चलता है और दीर्घवृत्त के शीर्ष-अंतों के माध्यम से होकर जाता है। शीर्ष-अंतों को खोजने के लिए, केंद्र की y-निर्देशांक ($$k$$) से $$a$$ को जोड़ें और घटाएँ।

Vertex_1 का पता लगाने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक ($$k$$) में $$a$$ जोड़ें:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Vertex_1: $$\left(3;7\right)$$

Vertex_2 का पता लगाने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक ($$k$$) से $$a$$ घटाएं:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Vertex_2: $$\left(3;-9\right)$$

$$b$$ दीर्घवृत्त की छोटी त्रिज्या को प्रतिष्ठापित करता है, जो लघु धुरी के आधे के बराबर होता है। इसे सेमी-लघु अक्ष कहते हैं।
$$b$$ का मान खोजने के लिए, कार्यक्षेत्रीय दीर्घवृत्त मानक तालिका का उपयोग करें:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
समीकरण का वर्गमूल उभारें:
$$b=4$$
b एक दूरी को प्रतिष्ठापित करता है, इसलिए इसकी केवल सकारात्मक मान होती है।

एक वर्टिकल एलिप्स में, लघु धुरी x-अक्ष के समानांतर होती है और एलिप्स के सह-शीर्षों से होकर गुजरती है।
सह-शीर्षों को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक ($$h$$) से $$b$$ को जोड़ें और घटाएं।

सह-शीर्ष_1 को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक ($$h$$) में $$b$$ को जोड़ें:
सह-शीर्ष_1: $$\left(h+b,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
सह-शीर्ष_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
सह-शीर्ष_1: $$\left(7;-1\right)$$

सह-शीर्ष_2 को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक ($$h$$) से $$b$$ को घटाएं:
सह-शीर्ष_2: $$\left(h-b,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
सह-शीर्ष_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
सह-शीर्ष_2: $$\left(-1;-1\right)$$

फोकल लंबाई एलिप्स के केंद्र से प्रत्येक फोकल बिंदु तक की दूरी होती है और आमतौर पर $$f$$ द्वारा प्रस्तुत की जाती है।

$$f$$ को खोजने के लिए, फार्मूला का उपयोग करें:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
फार्मूला में $$a^2$$ और $$b^2$$ को डालें और सरल करें:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6.928$$

क्योंकि $$f$$ एक दूरी को प्रतिष्ठापन करता है, इसलिए इसका मात्र सकारात्मक मान होता है।

एक वर्टिकल एलिप्स में, प्रमुख धुरी y-अक्ष के समानांतर होती है और फोकल पॉइंट्स के माध्यम से होकर गुजरती है।
फोकल पॉइंट्स को खोजने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक $$\left(k\right)$$ से $$f$$ को जोड़ें और घटाएं।

फोकस_1 को खोजने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक $$\left(k\right)$$ में $$f$$ को जोड़ें:
फोकस_1: $$\left(h,k+f\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6.928$$
फोकस_1: $$\left(3,-1+6.928\right)$$
फोकस_1: $$\left(3;5.928\right)$$

फोकस_2 को खोजने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक $$\left(k\right)$$ से $$f$$ को घटाएं:
फोकस_2: $$\left(h,k-f\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6.928$$
फोकस_2: $$\left(3,-1-6.928\right)$$
फोकस_2: $$\left(3;-7.928\right)$$

दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल को खोजने के लिए, दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करें:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=4$$
सूत्र में $$a$$ और $$b$$ को प्लग करें और सरलीकरण करें:

$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

क्षेत्रफल $$32\pi$$ के बराबर होता है

x-अंत:प्राप्ति(फलन) खोजने के लिए, मान्यकरण की मानदंड समीकरण में $$0$$ को $$y$$ के लिए प्लग करें और प्राप्त द्विघातीय समीकरण को $$x$$ के लिए हल करें।
यहां द्विघातीय समीकरण की एक चरण-दर-चरण व्याख्या के लिए क्लिक करें।

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6.969$$

$$x_2=-0.969$$

y-इंटरसेप्ट (s) ढूंढने के लिए, त्रिज्या की मानक समीकरण में $$0$$ को $$x$$ के लिए प्लग करें और निर्णायक समीकरण को $$y$$ के लिए हल करें।
निर्णायक समीकरण का चरण-दर-चरण व्याख्यान के लिए यहां क्लिक करें।

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4.292$$

$$y_2=-6.292$$

विलक्षणता का पता लगाने के लिए सूत्र प्रयोग करें:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
$$a=8$$
सूत्र में $$a^2$$, $$b^2$$ और $$a$$ को प्लग करें:

$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6.928}{8}$$

$$0.866$$

विलक्षणता बराबर है $$0.866$$