समाधान - दीर्घवृत्तों की गुणधर्म

$$a$$ दीर्घवृत्त के लंबे त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो प्रमुख धुरी के आधे के बराबर होता है। इसे सेमी-मेजर एक्सिस कहा जाता है।
$$a$$ के मान का पता लगाने के लिए, क्षैतिज दीर्घवृत्त का मानक रूप उपयोग करें:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=9$$
समीकरण के दोनों ओरों का वर्गमूल निकालें:
$$a=3$$

क्योंकि $$a$$ एक दूरी को प्रतिष्ठापन करता है, इसलिए इसका मात्र सकारात्मक मान होता है।

एक होरिजॉंटल दीर्घवृत्त में, प्रमुख अक्ष x-अक्ष के समानांतर चलता है और दीर्घवृत्त के शीर्ष-अंतों के माध्यम से होकर जाता है। शीर्ष-अंतों को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक ($$h$$) से $$a$$ को जोड़ें और घटाएँ।

शीर्ष_1 का पता लगाने के लिए, $$a$$ को केंद्र के x-निर्देशांक $$\left(h\right)$$ में जोड़ें:
शीर्ष_1: $$\left(h+a,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2,-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$a=3$$
शीर्ष_1: $$\left(2+3,-1\right)$$
शीर्ष_1: $$\left(5;-1\right)$$

शीर्ष_2 का पता लगाने के लिए, $$a$$ को केंद्र के x-निर्देशांक ($$h$$) से घटाएं:
शीर्ष_2: $$\left(h-a,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2,-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$a=3$$
शीर्ष_2: $$\left(2-3,-1\right)$$
शीर्ष_2: $$\left(-1;-1\right)$$

$$b$$ दीर्घवृत्त के छोटे त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो गौण धुरी के आधे के बराबर होता है। इसे सेमी-माइनर एक्सिस कहा जाता है।
$$b$$ के मान का पता लगाने के लिए, क्षैतिज दीर्घवृत्त का मानक रूप उपयोग करें:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
समीकरण के दोनों ओरों का वर्गमूल निकालें:
$$b=2$$
क्योंकि b एक दूरी का प्रतिनिधित्व करता है, इसका मूल्य केवल सकारात्मक होता है।

एक क्षैतिज दीर्घवृत्त में, गौण धुरी y-अक्ष के समानांतर होती है और दीर्घवृत्त के सह-शीर्षों से होकर गुजरती है।
सह-शीर्षों का पता लगाने के लिए, $$b$$ को केंद्र के y-निर्देशांक $$\left(k\right)$$ में जोड़ें और घटाएं।

सह-शीर्षा_1 को खोजने के लिए, केंद्र के y निर्देशांक $$\left(k\right)$$ से $$b$$ जोड़ें:
सह-शीर्षा_1: $$\left(h,k+b\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2;-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
सह-शीर्षा_1: $$\left(2,-1+2\right)$$
सह-शीर्षा_1: $$\left(2;1\right)$$

सह-शीर्षा_2 को खोजने के लिए, केंद्र के y-निर्देशांक $$\left(k\right)$$ से $$b$$ को घटाएं:
सह-शीर्षा_2: $$\left(h,k-b\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2;-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
सह-शीर्षा_2: $$\left(2,-1-2\right)$$
सह-शीर्षा_2: $$\left(2;-3\right)$$

ध्रुव लंबाई दीर्घवृत्त के केंद्र से प्रत्येक ध्रुव बिंदु तक की दूरी होती है और आमतौर पर $$f$$ द्वारा प्रतिष्ठित की जाती है।

$$f$$ को खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
सूत्र में $$a^2$$ और $$b^2$$ को प्लग करें और सरलीकरण करें:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2.236$$

क्योंकि $$f$$ एक दूरी को प्रतिष्ठापन करता है, इसलिए इसका मात्र सकारात्मक मान होता है।

एक क्षैतिजीय दीर्घवृत्त में, प्रमुख अक्ष x-अक्ष के समानांतर चलता है और ध्रुवों के माध्यम से होता है।
ध्रुवों को खोजें केंद्र के x-निर्देशांक $$\left(h\right)$$ से $$f$$ को जोड़ने और घटाने के द्वारा।

ध्रुव_1 को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक $$\left(h\right)$$ से $$f$$ जोड़ें:
ध्रुव_1: $$\left(h+f,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2;-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$f=2.236$$
ध्रुव_1: $$\left(2+2.236,-1\right)$$
ध्रुव_1: $$\left(4.236;-1\right)$$

ध्रुव_2 को खोजने के लिए, केंद्र के x-निर्देशांक $$\left(h\right)$$ से $$f$$ घटाएं:
ध्रुव_2: $$\left(h-f,k\right)$$
केंद्र: $$\left(h,k\right)=\left(2;-1\right)$$
$$h=2$$
$$k=-1$$
$$f=2.236$$
ध्रुव_2: $$\left(2-2.236,-1\right)$$
ध्रुव_2: $$\left(-0.236;-1\right)$$

दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल को खोजने के लिए, दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करें:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
सूत्र में $$a$$ और $$b$$ को प्लग करें और सरलीकरण करें:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

क्षेत्रफल $$6\pi$$ के बराबर होता है

x-अंत:प्राप्ति(फलन) खोजने के लिए, मान्यकरण की मानदंड समीकरण में $$0$$ को $$y$$ के लिए प्लग करें और प्राप्त द्विघातीय समीकरण को $$x$$ के लिए हल करें।
यहां द्विघातीय समीकरण की एक चरण-दर-चरण व्याख्या के लिए क्लिक करें।

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{4}=1$$

$$x_1=4.598$$

$$x_2=-0.598$$

y-इंटरसेप्ट (s) ढूंढने के लिए, त्रिज्या की मानक समीकरण में $$0$$ को $$x$$ के लिए प्लग करें और निर्णायक समीकरण को $$y$$ के लिए हल करें।
निर्णायक समीकरण का चरण-दर-चरण व्याख्यान के लिए यहां क्लिक करें।

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=0.491$$

$$y_2=-2.491$$

विलक्षणता का पता लगाने के लिए सूत्र प्रयोग करें:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
सूत्र में $$a^2$$, $$b^2$$ और $$a$$ को प्लग करें:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2.236}{3}$$

$$0.745$$

विलक्षणता बराबर है $$0.745$$