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समाधान - ज्यामितीय श्रृंखलाएं

सामान्य अनुपात है:

r = 0.6666666666666666

r=0.6666666666666666

इस श्रृंखला का योग है:

s = 665

s=665

इस श्रृंखला का सामान्य स्वरूप है:

a_{n} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{n - 1}

a_n=243*0.6666666666666666^(n-1)

इस श्रृंखला का nth अवधि है:

243, 162, 108, 71.99999999999999, 47.99999999999999, 31.99999999999999, 21.333333333333325, 14.222222222222216, 9.481481481481477, 6.320987654320985

243,162,108,71.99999999999999,47.99999999999999,31.99999999999999,21.333333333333325,14.222222222222216,9.481481481481477,6.320987654320985

चरण देखें

चरण-दर-चरण समाधान

1. सामान्य अनुपात का पता लगाएं

किसी भी पद को उस पद से विभाजित करके सामान्य अनुपात का पता लगाएं, जो इससे पहले आता है:

$a_{2} a_{1} = \frac{162}{243} = 0.6666666666666666$

$a_{3} a_{2} = \frac{108}{162} = 0.6666666666666666$

$a_{4} a_{3} = \frac{72}{108} = 0.6666666666666666$

$a_{5} a_{4} = \frac{48}{72} = 0.6666666666666666$

$a_{6} a_{5} = \frac{32}{48} = 0.6666666666666666$

अनुक्रम का सामान्य अनुपात ( $r$ ) स्थिर होता है और दो क्रमागत शब्दों के भाग के बराबर होता है।
$r = 0.6666666666666666$

2. योग खोजें

5 अतिरिक्त steps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

श्रृंखला का योग खोजने के लिए, पहले पद: $a = 243$ , सामान्य अनुपात: $r = 0.6666666666666666$ , और तत्वों की संख्या $n = 6$ को ज्यामितीय श्रृंखला के योग सूत्र में डालें:

$s_{6} = 243 * ((1 - {0.6666666666666666}^{6}) / (1 - 0.6666666666666666))$

$s_{6} = 243 * ((1 - 0.08779149519890257) / (1 - 0.6666666666666666))$

$s_{6} = 243 * (0.9122085048010974 / (1 - 0.6666666666666666))$

$s_{6} = 243 * (0.9122085048010974 / 0.33333333333333337)$

$s_{6} = 243 \cdot 2.736625514403292$

$s_{6} = 665$

3. आम रूप खोजें

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

श्रृंखला के आम रूप का पता लगाने के लिए, पहले पद: $a = 243$ और सामान्य अनुपात: $r = 0.6666666666666666$ को ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र में डालें:

$a_{n} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{n - 1}$

4. नth अवधि का पता लगाएँ

सामान्य रूप का उपयोग करके nth पद का पता लगाएँ

$a_{1} = 243$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{2 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{1} = 243 \cdot 0.6666666666666666 = 162$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{3 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{2} = 243 \cdot 0.4444444444444444 = 108$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{4 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{3} = 243 \cdot 0.2962962962962962 = 71.99999999999999$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{5 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{4} = 243 \cdot 0.19753086419753083 = 47.99999999999999$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{6 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{5} = 243 \cdot 0.13168724279835387 = 31.99999999999999$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{7 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{6} = 243 \cdot 0.08779149519890257 = 21.333333333333325$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{8 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{7} = 243 \cdot 0.05852766346593505 = 14.222222222222216$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{9 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{8} = 243 \cdot 0.03901844231062336 = 9.481481481481477$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{10 - 1} = 243 \cdot {0.6666666666666666}^{9} = 243 \cdot 0.02601229487374891 = 6.320987654320985$

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इसे सीखने की क्यों जरूरत है

ज्यामितीय अनुक्रम साधारणतया गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, कंप्यूटर विज्ञान, वित्त, और अधिक में अवधारणाओं को समझाने के लिए उपयोग किया जाता है, इसलिए यह हमारे उपकरणकिट में एक बहुत ही उपयोगी उपकरण होता है। ज्यामितीय अनुक्रमों के सबसे सामान्य उपयोगों में से एक, उदाहरण के लिए, वित्त से सबसे अधिक जुड़े कम्पाउंड ब्याज की अदा करी या अनपैद की गई गणना करना होता है, जो बहुत सारे पैसे कमा या खोने का मतलब हो सकता है! अन्य उपयोगों में शामिल हैं, परन्तु केवल विनिर्दिष्ट नहीं होते, संभावना की गणना करना, समय के साथ बिराजमानता मापना, और भवनों का डिजाइन करना।

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ज्यामितीय श्रृंखलाएं