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समाधान - गुणनखण्डों द्वारा क्वाड्रेटिक समीकरणों का हल

सटीक रूप:

t_{1} = - 3, t_{2} = \frac{27}{5}

t_1=-3, t_2=\frac{27}{5}

दशमलव रूप:

t_{1} = - 3, t_{2} = 5.4

t_1=-3, t_2=5.4

वस्तुकृत रूप में समीकरण:

(t + 3) (5 t - 27) = 0

(t+3)(5t-27)=0

चरण देखें

चरण-दर-चरण समाधान

1. गुणनखंड खोजें

गुणजोको को खोजने के लिए, वाइस बीजगणितीय समीकरण के मानक फॉर्म का उपयोग करें:
$a x^{2} + b x + c = 0$
$5 t^{2} - 12 t - 81 = 0$

गुणज $a$ $= 5$
गुणज $b$ $= - 12$
गुणज $c$ $= - 81$

2. ऐसी दो संख्याएं खोजें जिनका उत्पाद $a \cdot c$ के बराबर और योग $b$ के बराबर हो

ऐसे गुणकों को खोजें जिनका उत्पाद गुणज $a$ को गुणज $c$ से गुणा करने से होता है:
गुणज $a$ ∙ गुणज $c$ = $5$ ∙ $- 81$ = $- 405$

$- 405$ के गुणनखंडों की सूची बनाएं:
$1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 81, 135, 405$

क्योंकि गुणनखण्ड $a$ और गुणनखण्ड $c$ का उत्पाद एक नकारात्मक संख्या $(- 405)$ के बराबर है, इसलिए एक कारक को सकारात्मक और दूसरे को नकारात्मक होना चाहिए।

गुणनखंडों की सूची से ऐसी जोड़ी खोजें जिसका योग गुणांक $b$ के समान होता है।
गुणांक $b$ = $- 12$

यह जोड़ी काम नहीं करती है।

$1 \cdot - 405 = - 405$

$1 - 405 = - 404$

यह जोड़ी काम नहीं करती है।

$3 \cdot - 135 = - 405$

$3 - 135 = - 132$

यह जोड़ी काम नहीं करती है।

$5 \cdot - 81 = - 405$

$5 - 81 = - 76$

यह जोड़ी काम नहीं करती है।

$9 \cdot - 45 = - 405$

$9 - 45 = - 36$

मिल गयी - यह जोड़ी काम करती है:

$15 \cdot - 27 = - 405$

$15 - 27 = - 12$

$15$ का $- 27$ से उत्पाद गुणनखंड $a$ $(5)$ को गुणनखण्ड $c$ $(- 81)$ से गुणन के बराबर होता है और उनका योगफल गुणनखण्ड $b$ $(- 12)$ के बराबर होता है।

3. समीकरण का मध्य पद विभाजित करें

$5 t^{2} - 12 t - 81 = 0$
मध्यम पद को $15$ और $- 27$ का उपयोग करके पुन: लिखें:
$5 t^{2} + 15 t - 27 t - 81 = 0$

4. समूहण द्वारा गुणनखंड खोजें

$5 t^{2} + 15 t - 27 t - 81 = 0$

पहले दो और अंतिम दो पदों को अलग-अलग गुणनखंड में लिखें:

$(5 t^{2} + 15 t) + (- 27 t - 81) = 0$

पहले पद को गुणनखंड में लिखें:

$5 t (t + 3) + (- 27 t - 81) = 0$

दूसरे पद को गुणनखंड में लिखें:

$5 t (t + 3) - 27 (t + 3) = 0$

हर समूह से सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें:

$(t + 3) (5 t - 27) = 0$

$5 t^{2} - 12 t - 81 = 0$ के कारक $(t + 3)$ और $(5 t - 27)$ हैं।

5. द्विघात समीकरण के मूल खोजें

यदि
$(t + 3)$ ∙ $(5 t - 27) = 0$
तब
$(t + 3) = 0$
और/या
$(5 t - 27) = 0$

प्रत्येक कारक के लिए $t$ को हल करें:

गुणनखंड 1:

2 अतिरिक्त steps

$(t + 3) = 0$

दोनों पक्षों से घटाएं:

$(t + 3) - 3 = 0 - 3$

गणित सरल करें:

$t = 0 - 3$

गणित सरल करें:

$t = - 3$

गुणनखंड 2:

4 अतिरिक्त steps

$(5 t - 27) = 0$

दोनों पक्षों में जोड़ें:

$(5 t - 27) + 27 = 0 + 27$

गणित सरल करें:

$5 t = 0 + 27$

गणित सरल करें:

$5 t = 27$

दोनों पक्षों को से विभाजित करें:

$\frac{(5 t)}{5} = \frac{27}{5}$

भिन्न को सरल करें:

$t = \frac{27}{5}$

6. ग्राफ खींचें

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इसे सीखने की क्यों जरूरत है

उनके सबसे मूलभूत कार्य में, क्वाड्रेटिक समीकरण वृत्तों, दीर्घवृत्तों और पराबोलों जैसे आकारों को परिभाषित करते हैं। इन आकारों को बारी में, एक फुटबॉल खिलाड़ी द्वारा लाती गई गेंद या कैनन से चलाई गई गोली के वक्र को अनुमानित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
जब यह एक वस्तु के अंतरिक्ष में गति के बारे में होता है, तो अंतरिक्ष स्वयं के साथ शुरू करने का क्या बेहतर स्थान हो सकता है, हमारे सौर मंडल में सूरज के चारों ओर ग्रहों के क्रांति के साथ? क्वाड्रेटिक समीकरण का उपयोग करके यह स्थापित किया गया था कि ग्रहों के कक्षपथ वृत्ताकार नहीं बल्कि दीर्घवृत्ताकार होते हैं। एक वस्तु का पथ और गति को अंतरिक्ष में यात्रा करने की संभावना तब भी होती है, जब यह रुक गई होती है: क्वाड्रेटिक समीकरण इसकी गति को गणना कर सकता है, जब यह दुर्घटना हो जाती है। इस तरह की जानकारी के साथ, ऑटोमोबाइल उद्योग भविष्य में टकराव रोकने के लिए ब्रेकों का डिजाइन कर सकता है। कई उद्योग क्वाड्रेटिक समीकरण का उपयोग करके अपने उत्पादों के आयुवर्धक और सुरक्षितता को अनुमानित करते हैं और इस प्रकार उन्हें सुधारते हैं।

शब्द और विषय

फैक्टरिंग द्वारा द्विघात समीकरणों का समाधान

समाधान - गुणनखण्डों द्वारा क्वाड्रेटिक समीकरणों का हल

चरण-दर-चरण समाधान

1. गुणनखंड खोजें

2. ऐसी दो संख्याएं खोजें जिनका उत्पाद a·c के बराबर और योग b के बराबर हो

3. समीकरण का मध्य पद विभाजित करें

4. समूहण द्वारा गुणनखंड खोजें

5. द्विघात समीकरण के मूल खोजें

6. ग्राफ खींचें

इसे सीखने की क्यों जरूरत है

शब्द और विषय

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