टाइगर बीजगणित कैलकुलेटर

भिन्न एक पूरे का छोटा हिस्सा को दर्शाता है और आमतौर पर इसे एक अंशक, जो छोटा हिस्सा को दर्शाता है, और एक हर, जो पूरे को दर्शाता है, के रूप में लिखा जाता है। हम भिन्न को एक एकल संख्या के रूप में व्यक्त करने के लिए, भागफल, अंशक को हर से विभाजित करते हैं।
भिन्न के तीन मुख्य प्रकार होते हैं:

• उचित भिन्न

  जब अंशक हर से छोटा होता है। $$\frac{1}{4}$$ एक उचित भिन्न है।



• अनुचित भिन्न

  जब अंशक हर से बड़ा होता है। $$\frac{5}{4}$$ एक अनुचित भिन्न है।



• मिश्रित भिन्न

  एक पूर्ण संख्या के साथ एक उचित भिन्न। $$2\frac{3}{4}$$ एक मिश्रित भिन्न है।

यह महत्वपूर्ण है कि अनुचित भिन्न और मिश्रित भिन्न एक ही मान को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए: $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$।
भिन्न के साथ कार्य करते समय, यह आमतौर पर आसान होता है कि पहले किसी भी पूर्णांकों और/या मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करें:

• एक पूर्णांक को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करने के लिए, बस पूर्णांक को $$1$$ पर रखें। उदाहरण के लिए, $$3$$ को $$\frac{3}{1}$$ बना दें।
• एक मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करने के लिए, हर (निचली संख्या) को पूर्ण संख्या (भिन्न के सामने या बाईं तरफ की संख्या) से गुणित करें, जोड़ उत्पाद को अंशक (ऊपरी संख्या) में, और मूल अंशक पर योग लिखें। उदाहरण के लिए, $$2\frac{3}{4}$$ को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते समय, हम हर, $$4$$, को पूर्ण संख्या, $$2$$, से गुणित करेंगे जिसका परिणाम $$8$$ होगा। फिर हम इसे अंशक, $$3$$, में जोड़ेंगे जिसका परिणाम $$11$$ होगा, जिसे हम मूल हर, $$4$$, पर लिखेंगे जिसका परिणाम $$\frac{11}{4}$$ होगा।

भिन्न जोड़ना और घटाना

भिन्नों को जोड़ने का सामान्य नियम है: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$$
भिन्नों को घटाने का सामान्य नियम है: $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}$$
भिन्नों को जोड़ने और घटाने में 4 कदम हैं:

1. संभव हो सके तो भिन्नों को सरल करें, उन्हें घटाकर। अंशक (ऊपरी संख्या) और हर (निचली संख्या) को उनके सर्वाधिक सामान्य गुणनखंड (gcf) से विभाजित करें। एक सेट के संख्याओं का gcf वही सबसे बड़ी संख्या होती है जो सेट की सभी संख्याओं को बिना किसी शेषांश के बराबर विभाजित कर सकती है। उदाहरण के लिए, $$3$$ वही सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा $$3$$ और $$9$$ को बराबर विभाजित किया जा सकता है, इसलिए हम अंशक और हर को $$\frac{3}{9}$$ से $$3$$ से विभाजित करके इसे $$\frac{1}{3}$$ में घटा सकते हैं। और एक उदाहरण है $$\frac{4}{16}$$, जिसे हम $$\frac{1}{4}$$ में घटा सकते हैं।


2. भिन्नों का सामान्य हर खोजें। सामान्य हर खोजने के दो तरीके होते हैं:
   1. प्रत्येक भिन्न के ऊपरी और निचले हिस्से को दूसरे भिन्न के हर से गुणित करें। उदाहरण के लिए, $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1·4}{3·4}+\frac{1·3}{4·3}=\frac{1·4}{12}+\frac{1·3}{12}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$
   2. न्यूनतम सामान्य हर खोजें। इसे करने के लिए, हम हरों का न्यूनतम सामान्य गुणज (lcm) खोजते हैं और इसे सामान्य हर के रूप में उपयोग करते हैं। lcm खोजने के दो तरीके हैं: संख्याओं के गुणजों की सूची बनाना (हल करने वाला जल्द ही आ रहा है!) और मौलिक गणनांक₎द्वारा।


3. अंशकों को जोड़ें या घटाएं। इस बिंदु पर, भिन्नों का सामान्य हर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि हम बस अंशकों को जोड़ सकते हैं या उन्हें घटा सकते हैं और हम पिछले कदमों में पाये गए हर पर परिणाम लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ का परिणाम $$\frac{7}{12}$$ होगा।


4. परिणामस्वरूप भिन्न को सरल करें, यदि संभव हो, जैसा कि ऊपर कदम 1 में वर्णन किया गया है। यदि परिणाम $$\frac{4}{8}$$ था, उदाहरण के लिए, तो हम इसे $$\frac{1}{2}$$ में घटा देंगे।

भिन्नों का गुणन

bhinnon ka gunan karne ka samany niyam hai: $$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$$
bhinnon ka gunan karne me 4 kadam hain:

1. bhinnon ko saral korten, yadi saṁbhav ho. Anshak (upari sankhyā) aur harinī (nichalī sankhyā) ko unake mahattam sāmāny gunebaṇḍh (gcf) se vibhajit kar. Gufeka set sankhyāon ka gcf vah madhyasth sankhyā hoti hai jo set ki sabhi sankhyāon ko bina shishtānsh ke sama bānten kar me sakatī hai, udayaharan ke liye, $$3$$ vah sabse baj shankhya hai jisaake dawārā $$3$$ evam $$9$$ ko baraabar vibhaajit karati hai, isaliye ham anshak aur har ko $$\frac{3}{9}$$ se $$3$$ ke svā lagakr isako baas $$\frac{1}{3}$$ mein lag sakate hain. Aur ek udayaharan hai $$\frac{4}{16}$$, jisako ham $$\frac{1}{4}$$ mein lag sakate hain.


2. Anshkon (upari sankyā) ka gunāh. Uddaaharan svarup, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ bane jāegā $$\frac{6}{3·5}$$


3. harinī (nichalī sankhyā) ko guna. Uddaaharan svarup, $$\frac{6}{3·5}$$ bane jāegā $$\frac{6}{15}$$.


4. priksheny grih varshrūp bhkinan ko saral korten, yendra saṁbhav ho, jaisā ki uparita charaṇ 1 mai vivarin kiya gayā hai. Yedi prikshyen śa $$\frac{4}{8}$$ tha, udaāharan svarūp, to hum isne $$\frac{1}{2}$$ me ghaṭā dege.

Bhinnon Ka Vibhajan

Bhinnon ka vibhajan gunan bhinnon ke saman hai par ek atirikt charan shamil karta hai, jisme hum vibhājyī kē anshak aur har ko badalte hain- jiskey dvara hum doosre bhinn ko divide karange- taaki hum iska pratilom pa saken. Yahan se hum bas bhinnon ka gunan karte hain.

Bhinnon ka vibhajan karne ka samany niyam hai: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$$
bhinnon ka vivajan karne me 5 kadam hain:

1. yaadi saṁbhav ho, to bhinnon ko saral korten. Anshak (upari sankhyā) aur harinī (nichalī sankhyā) ko unake mahattam sāmāny gunebaṇḍh (gcf) se vibhajit kar. Gufeka set sankhyāon ka gcf vah madhyasth sankhyā hoti hai jo set ki sabhi sankhyāon ko bina shishtānsh ke sama bānten kar lag sakatī hai, udayaharan ke liye, $$3$$ vah sabase baj shankhya hai jisaake dawārā $$3$$ avam $$9$$ ko baraabar gud karati hai, isaliye ham anshak aur har ko $$\frac{3}{9}$$ se $$3$$ ke svā sillakar isako baas $$\frac{1}{3}$$ mein lag sakate hain. Aur ek udayaharan hai $$\frac{4}{16}$$, jisako ham $$\frac{1}{4}$$ mein lag sakate hain.


2. ham jis bhinnan ko baanten (vibhajyī) usake anshak aur har ko palataen taki usakā anshak neeche aur usakī har upar ho. Udddaharan svarup, $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ banega $$\frac{3}{4}·\frac{3}{1}$$.
   
3. Anshkon (upari sankyā) ka gunāh. Uddaaharan svarup, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ bane jāegā $$\frac{6}{3·5}$$


4. harinī (nichalī sankhyā) ko guna. Uddaaharan svarup, $$\frac{6}{3·5}$$ bane jāegā $$\frac{6}{15}$$.


5. priksheny grih varshrūp bhkinan ko saral korten, yendra saṁbhav ho, jaisā ki uparita charaṇ 1 mai vivarin kiya gayā hai. Yedi prikshyen śa $$\frac{4}{8}$$ tha, udaāharan svarūp, to hum isne $$\frac{1}{2}$$ me ghaṭā dege.