פִּתָרוֹן - תכונות של אליפסות

$$a$$ מייצג את הרדיוס הארוך יותר של האליפסה, השווה למחצית הציר הראשי. זה נקרא הציר החצי-מרכזי.
כדי למצוא את הערך של $$a$$, השתמש בטופס הסטנדרטי של אליפסה אופקית:
$$<math>\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$

$$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$
$$a^2=50$$
קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה:
$$a=7.071$$

כיוון ש$$a$$ מייצג מרחק, לו יש ערך חיובי בלבד.

באליפסה אופקית, הציר הראשי מקביל לציר X ועובר דרך קודקודי האליפסה. מצא את הקודקודים על ידי הוספה וחיסור של $$a$$ מהמספר הממשי של x $$\left(h\right)$$ של המרכז.

Για να βρείτε την κορυφή_1, προσθέστε το $$a$$ στην x-συντεταγμένη $$\left(h\right)$$ του κέντρου:
Κορυφή_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Κέντρο: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=7.071$$
Κορυφή_1: $$\left(0+7.071,0\right)$$
Κορυφή_1: $$\left(7.071;0\right)$$

כדי למצוא את vertex_2, חסר<> מהקואורדינטה-x ($$h$$) של המרכז:
Co-vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
מרכז:$$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=7.071$$
vertex_2: $$\left(0-7.071,0\right)$$
vertex_2: $$\left(-7.071;0\right)$$

$$b$$ מייצג את הרדיוס הקצר יותר של האליפסה, השווה למחצית מהציר הקטין. זה נקרא ציר חצי מינורי.
כדי למצוא את הערך של $$b$$, השתמש בטופס הסטנדרטי של אליפסה אופקית:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$
$$b^2=30$$
קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה:
$$b=5.477$$
מכיוון ש- b מייצג מרחק, יש לו רק ערך חיובי.

באליפסה אופקית, הציר הקטין פועל במקביל לציר ה- y ועובר דרך הקודקודים המשותפים של האליפסה.
מצא את הקודקודים המשותפים על ידי הוספה וחיסור $$b$$ מקואורדינטת ה- y $$\left(k\right)$$ של המרכז.

כדי למצוא co-vertex_1, הוסף $$b$$ לקואורדינטת y $$\left(k\right)$$ של המרכז:
קוף-קודקוד_1: $$\left(h,k+b\right)$$
מרכז: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5.477$$
קודם_1: $$\left(0,0+5.477\right)$$
$$קוורטק{ס}_1:\left(0;5.477\right)$$

Για να βρείτε τη συν-κορυφή_2, αφαιρέστε το $$b$$ από τη συντεταγμένη y $$\left(k\right)$$ του κέντρου:
Co-κορυφή_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Κέντρο: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5.477$$
Co-κορυφή_2: $$\left(0,0-5.477\right)$$
Co-κορυφή_2: $$\left(0;-5.477\right)$$

אורך המוקד הוא המרחק ממרכז האליפסה לכל מוקד ומיוצג בדרך כלל על ידי $$f$$.

כדי למצוא $$f$$, השתמש בנוסחה:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=50$$
$$b^2=30$$
חבר $$a^2$$ ו $$-b^2לנוסחה$$ ופשט:

$$f=\sqrt{50-30}$$

$$f=\sqrt{20}$$

$$f=4.472$$

כיוון ש$$f$$ מייצג מרחק, לו יש ערך חיובי בלבד.

Σε μια οριζόντια έλλειψη, ο μεγάλος άξονας τρέχει παράλληλα προς τον άξονα x και μέσα από τις εστίες.
Βρείτε τις εστίες προσθέτοντας και αφαιρώντας το $$f$$ από τη συντεταγμένη x $$\left(h\right)$$ του κέντρου.

כדי למצוא focus_1, הוסף$$ו$$ לקואורדינטת ה-y$$\left(ק\right)$$ של המרכז:
פוקוס_1:(h,k+f)">$$<spanclass="formula-lookno-text">\left(h,k+f\right)</span>$$
מֶרְכָּז:$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4.472$$
פוקוס_1:$$\left(0,0+4.472\right)$$
פוקוס_1:$$\left(4.472;0\right)$$

כדי למצוא focus_2, החסר$$ו$$ מקואורדינטת x$$\left(ח\right)$$ של המרכז:
פוקוס_2:(hf,k)">$$<spanclass="formula-lookno-text">\left(hf,k\right)</span>$$
מֶרְכָּז:$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4.472$$
פוקוס_2:$$\left(0-4.472,0\right)$$
פוקוס_2:$$\left(-4.472;0\right)$$

השתמש בנוסחה לאזור האליפסה כדי למצוא את אזור האליפסה:
$$\pi cdotאcdotב$$
$$a=7.071$$
$$b=5.477$$
חבר את $$a$$ ו $$-b$$ לנוסחה ופשט:

$$\pi ·7.071·5.477$$

$$\pi ·38.728$$

השטח שווי $$38.728\pi$$

$$כדילמצואאתיירוט\left(ים\right)x,חבר<math>0$$ עבור $$y$$ במשוואה הסטנדרטית של האליפסה ופתור את המשוואה הריבועית המתקבלת עבור x.
לחץ כאן להסבר שלב אחר שלב על המשוואה הריבועית.

$$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$

$$\frac{x^2}{50}+\frac{0^2}{30}=1$$

$$x_1=7.071$$

$$x_2=0$$

$$כדילמצואאתיירוט\left(ים\right)y,חבר<math>0$$ עבור $$x$$ במשוואה הסטנדרטית של האליפסה ופתור את המשוואה הריבועית המתקבלת עבור y.
לחץ כאן להסבר שלב אחר שלב על המשוואה הריבועית.

$$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$

$$\frac{0^2}{50}+\frac{y^2}{30}=1$$

$$y_1=5.477$$

$$y_2=0$$

כדי למצוא את האקסצנטריות השתמש בנוסחה:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=50$$
$$b^2=30$$
$$a=7.071$$
חבר $$a^2$$, $$b^2$$ ו- a $$לנוסחה$$:

$$\frac{\sqrt{50-30}}{7.071}$$

$$\frac{\sqrt{20}}{7.071}$$

$$\frac{4.472}{7.071}$$

$$0.632$$

האקסצנטריות שווה $$0.632$$