פִּתָרוֹן - פתרון אי שוויונות ריבועיים באמצעות הנוסחה הריבועית

מקדמי אי השוויון שלנו $$5y^2-17y-40\le 0$$ הם:

$$a$$ = 5

$$b$$ = -17

$$c$$ = -40

הנוסחה הריבועית מעניקה לנו את השורשים עבור $$a{y}^2+by+c\le 0$$ שבה $$a$$, $$b$$ ו-$$c$$ הם מספרים (או מקדמים), כדלקמן:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(-{17}^2-4*5*-40\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(289-4*5*-40\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(289-20*-40\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(289--800\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(289+800\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(1089\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-1*-17\pm sqrt\left(1089\right)\right)/\left(10\right)$$

$$y=\left(177\pm sqrt\left(1089\right)\right)/10$$

כדי לקבל את התוצאה:

$$y=\left(177\pm sqrt\left(1089\right)\right)/10$$

פשט את $$1089$$ על-ידי איתור הגורמים הראשוניים שלו:

הפירוק לגורמים ראשוניים של $$1089$$ הוא $$3^2\cdot {11}^2$$

$$y=\left(177\pm 33\right)/10$$

ה-± אומר שיש שני שורשים אפשריים.

הפרד את המשוואות: $$y_1=\left(177+33\right)/10$$ ו-$$y_2=\left(177-33\right)/10$$

$$y_1=\left(177+33\right)/10$$

$$y_1=\left(177+33\right)/10$$

$$y_1=\left(210\right)/10$$

$$y_1=\frac{210}{10}$$

$$y_1=21$$

$$y_2=\left(177-33\right)/10$$

$$y_2=\left(177-33\right)/10$$

$$y_2=\left(144\right)/10$$

$$y_2=\frac{144}{10}$$

$$y_2=14.4$$

כדי למצוא את הטווחים של אי שוויון ריבועי, אנו מתחילים במציאת הפרבולה שלו.

שורשי הפרבולה (היכן שהיא פוגשת את ציר ה-x) הם: -1.6, 5.

מכיוון שהמקדם $$a$$ הוא חיובי ($$a$$=5), זהו אי שוויון ריבועי "חיובי" והפרבולה מצביעה כלפי מעלה, כמו חיוך!

אם סימן אי השוויון הוא ≤ או ≥ , אז הטווחים כוללים את השורשים ואנחנו משתמשים בקו אחיד. אם סימן אי השוויון הוא < או > הטווחים אינם כוללים את השורשים ואנו משתמשים בקו מנוקד.

מאחר של-$$5y^2-17y-40\le 0$$ יש סימן אי שוויון $$\le$$, אנו מחפשים את טווחי הפרבולה שנמצאים מתחת לציר ה-x.

פתרון: $$$$

כתיב טווח: $$$$