פִּתָרוֹן - פתרון אי שוויונות ריבועיים באמצעות הנוסחה הריבועית

הנוסחה הריבועית מעניקה לנו את השורשים עבור $$a{n}^2+bn+c\ge 0$$ שבה $$a$$, $$b$$ ו-$$c$$ הם מספרים (או מקדמים), כדלקמן:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(-{22}^2-4*5*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484-4*5*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484-20*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484--420\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484+420\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(904\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(904\right)\right)/\left(10\right)$$

$$n=\left(222\pm sqrt\left(904\right)\right)/10$$

כדי לקבל את התוצאה:

$$n=\left(222\pm sqrt\left(904\right)\right)/10$$

פשט את $$904$$ על-ידי איתור הגורמים הראשוניים שלו:

הפירוק לגורמים ראשוניים של $$904$$ הוא $$2^3\cdot 113$$

$$n=\left(222\pm 2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

ה-± אומר שיש שני שורשים אפשריים.

הפרד את המשוואות: $$n_1=\left(222+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$ ו-$$n_2=\left(222-2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(222+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(222+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(222+2*15.033\right)/10$$

$$n_1=\left(222+2*15.033\right)/10$$

$$n_1=\left(222+30.067\right)/10$$

$$n_1=\left(222+30.067\right)/10$$

$$n_1=\left(252.067\right)/10$$

$$n_1=\frac{252.067}{10}$$

$$n_1=25.207$$

$$n_2=\left(222-2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_2=\left(222-2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_2=\left(222-2*15.033\right)/10$$

$$n_2=\left(222-2*15.033\right)/10$$

$$n_2=\left(222-30.067\right)/10$$

$$n_2=\left(222-30.067\right)/10$$

$$n_2=\left(191.933\right)/10$$

$$n_2=\frac{191.933}{10}$$

$$n_2=19.193$$

כדי למצוא את הטווחים של אי שוויון ריבועי, אנו מתחילים במציאת הפרבולה שלו.

שורשי הפרבולה (היכן שהיא פוגשת את ציר ה-x) הם: -0.807, 5.207.

מכיוון שהמקדם $$a$$ הוא חיובי ($$a$$=5), זהו אי שוויון ריבועי "חיובי" והפרבולה מצביעה כלפי מעלה, כמו חיוך!

אם סימן אי השוויון הוא ≤ או ≥ , אז הטווחים כוללים את השורשים ואנחנו משתמשים בקו אחיד. אם סימן אי השוויון הוא < או > הטווחים אינם כוללים את השורשים ואנו משתמשים בקו מנוקד.

מאחר של-$$5n^2-22n-21\ge 0$$ יש סימן אי שוויון $$\ge$$, אנו מחפשים את טווחי הפרבולה הנמצאים מעל ציר ה-x.

פתרון: $$$$

כתיב טווח: $$$$