פִּתָרוֹן - פתרון אי שוויונות ריבועיים באמצעות הנוסחה הריבועית

מקדמי אי השוויון שלנו $$4x^2+12x-112\le 0$$ הם:

$$a$$ = 4

$$b$$ = 12

$$c$$ = -112

הנוסחה הריבועית מעניקה לנו את השורשים עבור $$a{x}^2+bx+c\le 0$$ שבה $$a$$, $$b$$ ו-$$c$$ הם מספרים (או מקדמים), כדלקמן:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*4*-112\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*4*-112\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-16*-112\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--1792\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144+1792\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/\left(8\right)$$

כדי לקבל את התוצאה:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/8$$

פשט את $$1936$$ על-ידי איתור הגורמים הראשוניים שלו:

הפירוק לגורמים ראשוניים של $$1936$$ הוא $$2^4\cdot {11}^2$$

$$x=\left(-12\pm 44\right)/8$$

ה-± אומר שיש שני שורשים אפשריים.

הפרד את המשוואות: $$x_1=\left(-12+44\right)/8$$ ו-$$x_2=\left(-12-44\right)/8$$

$$x_1=\left(-12+44\right)/8$$

$$x_1=\left(-12+44\right)/8$$

$$x_1=\left(32\right)/8$$

$$x_1=\frac{32}{8}$$

$$x_1=4$$

$$x_2=\left(-12-44\right)/8$$

$$x_2=\left(-12-44\right)/8$$

$$x_2=\left(-56\right)/8$$

$$x_2=-\frac{56}{8}$$

$$x_2=-7$$

כדי למצוא את הטווחים של אי שוויון ריבועי, אנו מתחילים במציאת הפרבולה שלו.

שורשי הפרבולה (היכן שהיא פוגשת את ציר ה-x) הם: -7, 4.

מכיוון שהמקדם $$a$$ הוא חיובי ($$a$$=4), זהו אי שוויון ריבועי "חיובי" והפרבולה מצביעה כלפי מעלה, כמו חיוך!

אם סימן אי השוויון הוא ≤ או ≥ , אז הטווחים כוללים את השורשים ואנחנו משתמשים בקו אחיד. אם סימן אי השוויון הוא < או > הטווחים אינם כוללים את השורשים ואנו משתמשים בקו מנוקד.

מאחר של-$$4x^2+12x-112\le 0$$ יש סימן אי שוויון $$\le$$, אנו מחפשים את טווחי הפרבולה שנמצאים מתחת לציר ה-x.

פתרון: $$$$

כתיב טווח: $$$$