פִּתָרוֹן - פתרון אי שוויונות ריבועיים באמצעות הנוסחה הריבועית

הנוסחה הריבועית מעניקה לנו את השורשים עבור $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$ שבה $$a$$, $$b$$ ו-$$c$$ הם מספרים (או מקדמים), כדלקמן:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left({210}^2-4*3*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-4*3*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-12*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100--72000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100+72000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/\left(6\right)$$

כדי לקבל את התוצאה:

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/6$$

פשט את $$116100$$ על-ידי איתור הגורמים הראשוניים שלו:

הפירוק לגורמים ראשוניים של $$116100$$ הוא $$2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 43$$

$$x=\left(-210\pm 30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

ה-± אומר שיש שני שורשים אפשריים.

הפרד את המשוואות: $$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$ ו-$$x_2=\left(-210-30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*11.358\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*11.358\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+340.735\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+340.735\right)/6$$

$$x_1=\left(130.735\right)/6$$

$$x_1=\frac{130.735}{6}$$

$$x_1=21.789$$

$$x_2=\left(-210-30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-30*11.358\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-30*11.358\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-340.735\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-340.735\right)/6$$

$$x_2=\left(-550.735\right)/6$$

$$x_2=-\frac{550.735}{6}$$

$$x_2=-91.789$$

כדי למצוא את הטווחים של אי שוויון ריבועי, אנו מתחילים במציאת הפרבולה שלו.

שורשי הפרבולה (היכן שהיא פוגשת את ציר ה-x) הם: -91.789, 21.789.

מכיוון שהמקדם $$a$$ הוא חיובי ($$a$$=3), זהו אי שוויון ריבועי "חיובי" והפרבולה מצביעה כלפי מעלה, כמו חיוך!

אם סימן אי השוויון הוא ≤ או ≥ , אז הטווחים כוללים את השורשים ואנחנו משתמשים בקו אחיד. אם סימן אי השוויון הוא < או > הטווחים אינם כוללים את השורשים ואנו משתמשים בקו מנוקד.

מאחר של-$$3x^2+210x-6000\ge 0$$ יש סימן אי שוויון $$\ge$$, אנו מחפשים את טווחי הפרבולה הנמצאים מעל ציר ה-x.

פתרון: $$$$

כתיב טווח: $$$$