מחשבון טייגר אלגברה

שילוב הוא דרך של סידור פריטים של קבוצה כאשר סדר הסידור איננו משנה. דוגמה תהיה בחירה של שלושה מספרים אקראיים מתוך רשימה של תשעה. לא חשוב אם תבחר ב-$$1$$ ואז ב-$$7$$ ואז ב-$$4$$ או אם תבחר ב-$$7$$ ואז ב-$$1$$ ואז ב-$$4$$.
תמורה מהווה דרך לסדר אלמנטים של קבוצה מסוימת כאשר סדר הפריטים משנה. דוגמה לכך תהיה קוד של מנעול. אם הקוד הוא $$1,7,4$$ לא ניתן להכניס אותו כ-$$1,4,7$$ או $$4,7,1$$ או בכל סדר אחר.
ככל שיש יותר מפריט אחד בקבוצה מסוימת, תמיד תהיינה יותר תמורות משילובים.

הן שילובים והן תמורות יכולים להתרחש עם או ללא הישנות, פירושו של דבר שהם מכילים פריט אחד או יותר כמה פעמים, או שהם לא. למרות שזה יראה כאילו אין הבדל גדול, פריטים החוזרים על עצמם בקבוצה משנים באופן משמעותי את הדרך בה אנו ניגש אליה.

כיתובים
$$n$$ מייצג בדרך כלל את סך הפריטים בקבוצה מסוימת.
$$k$$ מייצג בדרך כלל את מספר הפריטים בתת-קבוצה נבחרת.
$$C$$ מייצג בדרך כלל שילובים.
$$P$$ מייצג בדרך כלל תמורות.

$$P\left(n,k\right)$$ מייצג את מספר התמורות השונות של תת-קבוצה מסוימת ($$k$$) מתוך קבוצה גדולה יותר ($$n$$) וניתן לכתוב אותו גם כ:
תמונה חסרה
$$C\left(n,k\right)$$ מייצג את מספר השילובים השונים של תת-קבוצה מסוימת ($$k$$) מתוך קבוצה גדולה יותר ($$n$$) וניתן לכתוב אותו גם כ:
תמונה חסרה
לכתיב זה מתייחסים לפעמים גם כאל "n בבחירה של k".

נוסחאות
אנו משתמשים בנוסחת העצרת בעת פתרון של שילובים ושינויים.

תמורות עם הישנות
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
E.G: כמה תמורות שונות של $$3$$ פריטים מתוך קבוצה של $$9$$ פריטים קיימות כאשר ישנה אפשרות להישנות?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

תמורות ללא הישנות
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
E.G: כמה תמורות שונות של $$3$$ פריטים מתוך קבוצה של $$9$$ פריטים קיימות כאשר לא קיימת אפשרות להישנות?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

שילובים עם הישנות
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
E.G: כמה שילובים שונים של תת-קבוצה של $$3$$ מתוך סך של $$9$$ פריטים קיימים כאשר הישנות יכולה להתרחש?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

שילובים ללא הישנות קישור אל תרגיל זה
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
E.G: כמה שילובים שונים של תת-קבוצה של $$3$$ מתוך סך של $$9$$ פריטים קיימים כאשר הישנות לא יכולה להתרחש?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$