מחשבון טייגר אלגברה

שבר מייצג חלק קטן יותר מתוך שלם והוא כתוב בדרך כלל כמונה, המייצג את החלק הקטן יותר, אשר כתוב מעל מכנה, המייצג את השלם. על מנת לבטא שבר כמספר יחיד, מנה, אנו מחלקים את המונה אל המכנה. יישנם שלושה סוגים עיקריים של שברים:

• שברים אמתיים: המונה קטן יותר מן המכנה. $$\frac{1}{4}$$ הוא שבר אמתי.


• שבר מדומה: המונה גדול יותר מן המכנה. $$\frac{5}{4}$$ הוא שבר מדומה.


• שבר מעורבב: מספר שלם בשילוב עם שבר אמתי. $$2\frac{3}{4}$$ הוא שבר מעורבב.

חשוב לשים לב שניתן להשתמש בשברים מדומים ושברים מעורבבים על מנת לבטא את אותם הערכים. לדוגמה, $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$. בעת ביצוע פעולות עם שברים, בדרך כלל קל יותר להמיר תחילה כל מספר שלם ו/או שבר מעורבב אל שברים מדומים:

• בכדי להמיר מספר שלם אל שבר מדומה, מקמו פשוט את המספר השלם מעל $$1$$. לדוגמה, $$3$$ יהפוך להיות $$\frac{3}{1}$$.
• בכדי להמיר שבר מעורבב אל שבר מדומה, הכפל את המכנה (המספר התחתון) במספר השלם (המספר הנמצא לפני או בצד השמאלי של השבר), הוסף את התוצאה למונה (המספר העליון), וכתוב את הסכום מעל למכנה המקורי. לדוגמה, כאשר ממרים $$2\frac{3}{4}$$ לשבר מדומה, אנו נכפיל את המכנה, $$4$$, במספר השלם, $$2$$, בכדי לקבל $$8$$. לאחר מכן נוסיף את התוצאה אל המונה, $$3$$, בכדי לקבל $$11$$, אותו נכתוב מעל למכנה המקורי, $$4$$, בכדי לקבל $$\frac{11}{4}$$.

חיבור וחיסור של שברים

החוק הכללי עבור חיבור של שברים הוא: $$a/b+c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)+\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad+bc\right)/\left(bd\right)$$ החוק הכללי עבור חיסור של שברים הוא: $$a/b-c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)-\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad-bc\right)/\left(bd\right)$$ יישנם 4 שלבים לחיבור וחיסור של שברים:

1. פשט את השברים על ידי הפחתה שלהם, אם ניתן. חלק את המונה (המספר העליון) ואת המכנה (המספר התחתון) בגורם המשותף הגדול ביותר שלהם (gcf). ה-gcf של קבוצת מספרים הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק באופן שווה את כל המספרים בקבוצה ללא שארית. לדוגמה, $$3$$ הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק את $$3$$ ואת $$9$$ באופן שווה, כל שנוכל לחלק את המונה ואת המכנה של $$\frac{3}{9}$$ ב-$$3$$ בכדי להפחית אותו אל $$\frac{1}{3}$$. דוגמה אחרת היא $$\frac{4}{16}$$, אשר יופחת אל $$\frac{1}{4}$$.


2. מצא את המכנה המשותף של השברים. יישנן שתי דרכים למצוא את המכנה המשותף:
   1. הכפל את המספר העליון והמספר התחתון בכל שבר המכנה של השבר השני. לדוגמה, $$1/3+1/4=\left(1·4\right)/\left(3·4\right)+\left(1·3\right)/\left(4·3\right)=\left(1·4\right)/12+\left(1·3\right)/12=4/12+3/12$$
   2. מצא את המכנה הכי פחות נפוץ. בכדי לעשות זאת, אנו נמצא את הכפולה הכי פחות נפוצה (lcm) של המכנים ונשתמש בה כמכנה המשותף. יישנן שתי דרכים למצוא את ה-lcm: רשימה של כפולות מספרים (הפותר יעשה זאת בקרוב!) ופירוק לגורמים ראשוניים.


3. חבר או החסר את המונים. בנקודה זו, לשברים צריך להיות את אותו המכנה, פירושו של דבר הוא שאנו יכולים פשוט לחבר או להחסיר את המונים ולכתוב את התוצאה מעל למכנה המשותף אותו מתאנו בשלבים הקודמים. לדוגמה, $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ יהפוך אל $$\frac{7}{12}$$.


4. פשט את תוצאת השבר על ידי הפחתה, אם ניתן, כפי שתואר למעלה בשלב 1. אם התוצאה הייתה $$\frac{4}{8}$$, לדוגמה, אנו נוכל לפשט אותה אל $$\frac{1}{2}$$.

הכפלה של שברים

החוק הכללי עבור הכפלה של שברים הוא: $$a/b·c/d=\left(a·c\right)/\left(b·d\right)$$ יישנם 4 שלבים להכפלה של שברים:

1. פשט את השברים על ידי הפחתה שלהם, אם ניתן. חלק את המונה (המספר העליון) ואת המכנה (המספר התחתון) בגורם המשותף הגדול ביותר שלהם (gcf). ה-gcf של קבוצת מספרים הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק באופן שווה את כל המספרים בקבוצה ללא שארית. לדוגמה, $$3$$ הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק את $$3$$ ואת $$9$$ באופן שווה, כל שנוכל לחלק את המונה ואת המכנה של $$\frac{3}{9}$$ ב-$$3$$ בכדי להפחית אותו אל $$\frac{1}{3}$$. דוגמה אחרת היא $$\frac{4}{16}$$, אשר יופחת אל $$\frac{1}{4}$$.


2. הכפל את המונים (המספרים העליונים). לדוגמה, $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ יהפוך להיות $$6/\left(3*5\right)$$


3. הכפל את המכנים (המספרים התחתונים). לדוגמה, $$6/\left(3*5\right)$$ יהפוך להיות $$\frac{6}{15}$$.


4. פשט את תוצאת השבר על ידי הפחתה, אם ניתן, כפי שתואר למעלה בשלב 1. אם התוצאה הייתה $$\frac{4}{8}$$, לדוגמה, אנו נוכל לפשט אותה אל $$\frac{1}{2}$$.

חלוקה של שברים

חלוקה של שברים דומה מאוד להכפלה של שברים אבל היא כוללת שלב נוסף, בו אנו הופכים את מקומות המונה והמכנה של המחלק—המספר אליו אנו מחלקים את השבר האחר—בכדי למצוא את המספר ההדדי שלו. מכאן אנו פשוט מכפילים את השברים. החוק הכללי עבור חלוקה של שברים הוא: $$\left(a/b\right):\left(c/d\right)=\left(a/b\right)·\left(d/c\right)=\left(a·d\right)/\left(b·c\right)$$ יישנם 5 שלבים לחלוקה של שברים:

1. פשט את השברים על ידי הפחתה שלהם, אם ניתן. חלק את המונה (המספר העליון) ואת המכנה (המספר התחתון) בגורם המשותף הגדול ביותר שלהם (gcf). ה-gcf של קבוצת מספרים הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק באופן שווה את כל המספרים בקבוצה ללא שארית. לדוגמה, $$3$$ הוא המספר הגדול ביותר אליו ניתן לחלק את $$3$$ ואת $$9$$ באופן שווה, כל שנוכל לחלק את המונה ואת המכנה של $$\frac{3}{9}$$ ב-$$3$$ בכדי להפחית אותו אל $$\frac{1}{3}$$. דוגמה אחרת היא $$\frac{4}{16}$$, אשר יופחת אל $$\frac{1}{4}$$.


2. הפוך את השבר אליו אנו מבצעים את החלוקה (המחלק) כך שהמונה יהיה בחלק התחתון שלו והמכנה בחלק העליון. לדוגמה, $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ יהפוך להיות $$\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{1}$$.
   
3. הכפל את המונים (המספרים העליונים). לדוגמה, $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ יהפוך להיות $$6/\left(3*5\right)$$


4. הכפל את המכנים (המספרים התחתונים). לדוגמה, $$6/\left(3*5\right)$$ יהפוך להיות $$\frac{6}{15}$$.


5. פשט את תוצאת השבר על ידי הפחתה, אם ניתן, כפי שתואר למעלה בשלב 1. אם התוצאה הייתה $$\frac{4}{8}$$, לדוגמה, אנו נוכל לפשט אותה אל $$\frac{1}{2}$$.