מחשבון טייגר אלגברה
מערכות של משוואות לינאריות
משוואות ליניאריות
משוואה ליניארית היא משוואה שמייצגת קו ישר. בדרך כלל, לה יש קבועים ומשתנים, שלא יכולים להכיל אקספוננטיאל או שורשים, ותיכתב באחד מהדרכים הבאות:
הצורה הנקודה-מדרגה
לדוגמא:
הצורה פאן-צמת
לדוגמא:
הצורה הסטנדרטית
לדוגמא:
חשוב: בצורה זו, ו- לא יכולים להיות שניהם אפס ().
אף שמשוואות אלה נראות שונות, הן למעשה מייצגות את אותו הקו. אם יש לך גישה למחשבון גרפים, נסה להציג כל משוואה ולהשוות את התוצאות. הגרפים יהיו אותם הגרפים!
מערכת של משוואות ליניאריות
לפעמים מתבקשים שתי משוואות או יותר, שאפשר להגיע אליהן באותו משתנה או משתנים.
לדוגמא:
כאשר ו-, גם שתי המשוואות הן נכונות.
אלו נקראות מערכת של משוואות ליניאריות, ואפשר למצוא את המשתנים שלהן בשתי מתודות: הדחת והצבה.
פתירה באמצעות הדחת
השלבים העיקריים לפתירת מערכת של משוואות ליניאריות בהדחת:
1. כתוב מחדש את המשוואות כך שהמשתנים יהיו באותו סדר:
יהיו
2. כפול אחת או שתי המשוואות במספרים שאינם אפס שיהפוכו את אחת הקבוצות של מונחים לאפס אם מוסיפים או מחסרים:
יהיו
3. הוסף או חסר את המשוואות כדי להסיר את המשתנה המשותף שלהן:
4. הפתר את המשוואה כדי לבודד את המשתנה השוריד:
5. הכנס משתנה זה לאחת מהמשוואות המקוריות והפשט כדי לבודד את המשתנה השוריד:
המשתנים שמספקים את שתי המשוואות הם ו- או
6. חזור על כך ככל הדרוש, כמו כאשר יש יותר משתי משוואות ליניאריות במערכת.
פתירה באמצעות הצבה
השלבים העיקריים לפתירת מערכת של משוואות ליניאריות בהצבה:
1. פתור או באחת המשוואות על ידי בידוד המשתנה:
2. הכנס את המשתנה הנושא מהמשוואה האחרת ופתור:
3. הכנס את המשתנה הנושא מאחת מהמשוואות המקוריות ופתור:
המשתנים שמספקים את שתי המשוואות הם ו- או
4. חזור על כך ככל הדרוש, כמו כאשר יש יותר משתי משוואות ליניאריות במערכת.
ישנם שלושה סוגי תוצאות אפשריים למערכת של משוואות ליניאריות:
אין פתרון : אין משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. בגרף, הקווים שמייצגים את המשוואות לא מגעים. אם מדובר במשוואות ליניאריות, קווים אלה יהיו מקבילים זה לזה.
פתרון אחד : ישנה קבוצה אחת של משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. בגרף, הקווים שמייצגים את המשוואות חוצים אחד בשני פעם אחת. הנקודה שבה הם מצטלבים היא הפתרון למערכת.
פתרונות אינסופיים : יש מספר אינסופי של משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. זה מתרחש כאשר כל המשוואות במערכת הן אותן משוואות או גרסאות שוונות של אותה משוואה ולכן מייצגות את אותו הקו.
מונחים נוספים:
משוואות עקביות : שתי משוואות או יותר הן עקביות כאשר יש להן פתרון אחד או אינסופי פתרונות. לדוגמה: ו- הן עקביות מאחר שיש להן פתרון אחד משותף .
משוואות לא עקביות : שתי משוואות או יותר הן לא עקביות כאשר אין להן שום פתרונות משותפים, כלומר קוויהם אין להם נקודות משותפות. הקווים של משוואות לא עקביות הם מקבילים. לדוגמה: ו- הן לא עקביות מאחר של- יש ערך שונה בכל משוואה, מה שאומר שאין למשוואות פתרונות משותפים.
משוואות תלויות : שתי משוואות או יותר הן תלויות כאשר הן מייצגות את אותו הקו, מעניקות לכל משוואה אינסופי פתרונות. משוואות תלויות מתרחשות כאשר משוואה נכתבת בצורות שונות. לדוגמא: ו- מייצגות את אותו הקו ולכן הן תלויות.
משוואה ליניארית היא משוואה שמייצגת קו ישר. בדרך כלל, לה יש קבועים ומשתנים, שלא יכולים להכיל אקספוננטיאל או שורשים, ותיכתב באחד מהדרכים הבאות:
הצורה הנקודה-מדרגה
לדוגמא:
הצורה פאן-צמת
לדוגמא:
הצורה הסטנדרטית
לדוגמא:
חשוב: בצורה זו, ו- לא יכולים להיות שניהם אפס ().
אף שמשוואות אלה נראות שונות, הן למעשה מייצגות את אותו הקו. אם יש לך גישה למחשבון גרפים, נסה להציג כל משוואה ולהשוות את התוצאות. הגרפים יהיו אותם הגרפים!
מערכת של משוואות ליניאריות
לפעמים מתבקשים שתי משוואות או יותר, שאפשר להגיע אליהן באותו משתנה או משתנים.
לדוגמא:
כאשר ו-, גם שתי המשוואות הן נכונות.
אלו נקראות מערכת של משוואות ליניאריות, ואפשר למצוא את המשתנים שלהן בשתי מתודות: הדחת והצבה.
פתירה באמצעות הדחת
השלבים העיקריים לפתירת מערכת של משוואות ליניאריות בהדחת:
1. כתוב מחדש את המשוואות כך שהמשתנים יהיו באותו סדר:
יהיו
2. כפול אחת או שתי המשוואות במספרים שאינם אפס שיהפוכו את אחת הקבוצות של מונחים לאפס אם מוסיפים או מחסרים:
יהיו
3. הוסף או חסר את המשוואות כדי להסיר את המשתנה המשותף שלהן:
4. הפתר את המשוואה כדי לבודד את המשתנה השוריד:
5. הכנס משתנה זה לאחת מהמשוואות המקוריות והפשט כדי לבודד את המשתנה השוריד:
המשתנים שמספקים את שתי המשוואות הם ו- או
6. חזור על כך ככל הדרוש, כמו כאשר יש יותר משתי משוואות ליניאריות במערכת.
פתירה באמצעות הצבה
השלבים העיקריים לפתירת מערכת של משוואות ליניאריות בהצבה:
1. פתור או באחת המשוואות על ידי בידוד המשתנה:
2. הכנס את המשתנה הנושא מהמשוואה האחרת ופתור:
3. הכנס את המשתנה הנושא מאחת מהמשוואות המקוריות ופתור:
המשתנים שמספקים את שתי המשוואות הם ו- או
4. חזור על כך ככל הדרוש, כמו כאשר יש יותר משתי משוואות ליניאריות במערכת.
ישנם שלושה סוגי תוצאות אפשריים למערכת של משוואות ליניאריות:
אין פתרון : אין משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. בגרף, הקווים שמייצגים את המשוואות לא מגעים. אם מדובר במשוואות ליניאריות, קווים אלה יהיו מקבילים זה לזה.
פתרון אחד : ישנה קבוצה אחת של משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. בגרף, הקווים שמייצגים את המשוואות חוצים אחד בשני פעם אחת. הנקודה שבה הם מצטלבים היא הפתרון למערכת.
פתרונות אינסופיים : יש מספר אינסופי של משתנים שהיו מקיימים את כל המשוואות במערכת. זה מתרחש כאשר כל המשוואות במערכת הן אותן משוואות או גרסאות שוונות של אותה משוואה ולכן מייצגות את אותו הקו.
מונחים נוספים:
משוואות עקביות : שתי משוואות או יותר הן עקביות כאשר יש להן פתרון אחד או אינסופי פתרונות. לדוגמה: ו- הן עקביות מאחר שיש להן פתרון אחד משותף .
משוואות לא עקביות : שתי משוואות או יותר הן לא עקביות כאשר אין להן שום פתרונות משותפים, כלומר קוויהם אין להם נקודות משותפות. הקווים של משוואות לא עקביות הם מקבילים. לדוגמה: ו- הן לא עקביות מאחר של- יש ערך שונה בכל משוואה, מה שאומר שאין למשוואות פתרונות משותפים.
משוואות תלויות : שתי משוואות או יותר הן תלויות כאשר הן מייצגות את אותו הקו, מעניקות לכל משוואה אינסופי פתרונות. משוואות תלויות מתרחשות כאשר משוואה נכתבת בצורות שונות. לדוגמא: ו- מייצגות את אותו הקו ולכן הן תלויות.