מחשבון טייגר אלגברה

הלוגריתמים עונים על השאלה: "לאיזה מעריך אנו זקוקים להעלות מספר ספציפי בכדי להפוך אותו למספר ספציפי אחר?" או בצורה פשוטה יותר, "כמה פעמים אנו צריכים להכפיל מספר בעצמו בכדי לקבל מספר ספציפי אחר?" לדוגמה: לאיזה מעריך אנו זקוקים להעלות את $$3$$ בעצמו בכדי שיהפוך ל-$$81$$ או כמה פעמים אנו צריכים להכפיל את $$3$$ בעצמו בכדי לקבל $$81$$? התשובה היא $$4$$, כאשר המשוואה עבור בעיה זו היא $$lo{g}_{3}81=4$$. בקול רם, הדבר יהיה: "הלוגריתם של $$81$$ עם בסיס של $$3$$ שווה $$4$$ או בסיס הלוגריתם $$3$$ של $$81$$ הוא $$4$$ או בסיס $$3$$ לוגריתם של $$81$$ הוא $$4$$.

המספר אותו אנו מכפילים בעצמו נקרא בסיס הלוגריתם. בדוגמה שלנו, $$3$$ הוא בסיס הלוגריתם.
המספר בין הבסיס וסימן ה-= נקרא טיעון והוא המספר אותו אנו מקבלים כאשר אנו מעלים את בסיס הלוגריתם ($$3$$) לפתרון המשוואה ($$4$$). בדוגמה שלנו, $$81$$ הוא הטיעון.
פתרון הלוגריתם הוא המעריך אליו אנו מעלים את הבסיס בכדי לקבל את טיעון הלוגריתם. בדוגמה שלנו, $$4$$ הוא הפתרון.

ללוגריתם הכתוב ללא בסיס יש בדרך בסיס של $$10$$ והוא נקרא לוגריתם משותף. לחצן הלוגריתם על גבי מחשבונים מזין את הלוגריתם המשותף. לדוגמה, $$log\left(100\right)=lo{g}_{10}\left(100\right)=2$$.
לוגריתמים טבעים, מאידך, כתובים כ- ln והם לוגריתמים עם בסיס של e. בהקשר זה, e מייצג קבוע אוילר, מספר אי רציונלי השווה בערך אל 2.7182. אנו יכולים להזין לוגריתם טבעי אל תוך מחשבון על ידי לחיצה על לחצן ה-ln.
לוגריתמים יכולים להיות גם חיוביים או שליליים ולכלול נקודות עשרוניות.

מאפיינים של לוגריתמים עם אותו הבסיס:

כלל מכפלה: $$lo{g}_a\left(x\right)+lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x·y\right)$$
כלל מנה: $$lo{g}_a\left(x\right)-lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x/y\right)$$
כלל חזקה: $$lo{g}_a\left(x^b\right)=b·lo{g}_a\left(x\right)$$
כלל הפוך: $$-lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(1/x\right)$$
כלל שוויון: אם $$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(y\right)$$ אז $$x=y$$


שינוי של מאפייני הבסיס:

$$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_b\left(x\right)/lo{g}_b\left(a\right)$$

$$lo{g}_a\left(x\right)=1/lo{g}_x\left(a\right)$$


היחס בין לוגריתמים, מעריכים ושורשים:
אם כתבנו משוואה מערכית שלוש פעמים, כאשר בכל פעם אנו מחליפים ערך שונה במשתנה, אנו נקבל שלוש משוואות מאוד שונות, אך הקשורות אחת אל השנייה.
בוא נביט על המשוואה המערכית: $$3^4=81$$.

תסריט 1: החלפה של הפתרון עם משתנה
החלפה של הפתרון עם $$x$$ תיתן לנו $$3^4=x$$, אותו ניתן לפשט אל $$x=81$$

תסריט 2: החלפה של המעריך עם משתנה
החלפה של המעריך עם $$x$$ תיתן לנו $$3^x=81$$, המהווה משוואה לוגריתמית אותה ניתן לשכתב כ-$$lo{g}_3\left(81\right)=x$$ ולפשט אל $$x=4$$

תסריט 3: החלפה של הבסיס עם משתנה
החלפה של הבסיס עם $$x$$ תיתן לנו $$x^4=81$$, אותו ניתן לשכתב כ-$$\sqrt[4]{81}=x$$ ולפשט אל $$x=3$$