מחשבון טייגר אלגברה

Normaalijakauma
Normaalijakauma, jonka tunnetaan myös Gaussian, Gaussin tai Laplace–Gaussin jakaumana tai kaarevana, on todennäköisyysjakauma, joka liittää kumulatiivisen todennäköisyyden satunnaismuuttujaan $$X$$. Normaalin jakautumisen keskusta on aina keskiarvolla, jota pitkin jakautuminen on täysin symmetrinen.



Notations
Tilastolliset yleensä käyttävät isoja kirjaimia edustaakseen satunnaismuuttujia ja pieniä kirjaimia edustaakseen niiden arvoja. Esimerkki:

• $$x$$ on satunnaismuuttujan $$X$$ arvo.
• $$x$$ edustaa $$P\left(X\right)$$ todennäköisyyttä.
• $$P\left(X=x\right)$$ edustaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja $$X$$ on yhtä suuri kuin tietty arvo $$x$$. Esimerkiksi, $$P\left(X=1\right)$$ viittaa todennäköisyyteen, että satunnaismuuttuja $$X$$ on yhtä suuri kuin $$1$$.

Muita esimerkkejä
$$P\left(30<X\right)$$: Mikä on todennäköisyys, että $$X$$ on suurempi kuin $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: Mikä on todennäköisyys, että $$X$$ on pienempi kuin $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: Mikä on todennäköisyys, että $$X$$ on välillä $$30$$ ja $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: Mikä on todennäköisyys, että $$X$$ on suurempi kuin $$80$$ ja pienempi kuin $$30$$?

Normaalijakauman parametrit
Keskiarvo ja standardipoikkeama ovat kaksi pääparametria normaalijakaumassa. Ne määrittävät sekä jakautumisen muodon että todennäköisyydet.

Keskiarvo
$$\mu$$ tai $$x̅$$
Keskiarvo on jakauman keskustan ja huippupisteen sijainti, mikä tarkoittaa, että kaikki muutokset keskiarvossa siirtävät jakautumiskäyrää vasemmalle tai oikealle x-akselilla. Suurin osa tietopisteistä (arvoista) sijaitsee keskiarvon ympärillä.

Standardipoikkeama
$$\sigma$$ tai $$s$$
Standardipoikkeama mittaa, kuinka kaukana tietopisteet ovat jakauman keskiarvosta. Se määrittää normaalijakauman leveyden. Suurempi standardipoikkeama johtaa lyhyempiin, leveämpiin käyriin ja pienempi standardipoikkeama johtaa korkeampiin, kapeampiin käyriin.

Normaalijakauman ominaisuudet

1. Se on symmetrinen
   Normaalijakauma on täydellisen symmetrinen, mikä tarkoittaa, että jakaumakäyrän voi taittaa keskeltä, keskiarvon kohdalta, tuottamaan kaksi identtistä puolikasta. Tämä symmetrinen muoto johtuu siitä, että puolet havainnoista putoaa kummallekin puolelle käyrää.
2. Keskiarvo, mediaani ja moodi ovat kaikki yhtä suuret
   Koska normaalijakauma on symmetrinen, sen keskus edustaa kaikkien tietopisteiden keskiarvoa. Tämä tarkoittaa, että mediaaninsa (arvo keskellä joukkoa, kun sen arvot on järjestetty suurimmasta pienimpään) on myös sijaitsee jakautumiskeskuksessa ja on sama kuin keskiarvo.