Calculatrice Tiger Algebra
Systèmes d'équations linéaires
Équations linéaires
Une équation linéaire est une équation qui représente une ligne droite. Elle a généralement des constantes et des variables, qui ne peuvent pas contenir d'exposants ou de racines, et est généralement écrite de l'une des manières suivantes:
Forme point-pente
Par exemple :
Forme à pente-intercepteur
Par exemple:
Forme standard
Par exemple:
Important : Dans cette forme, et ne peuvent pas tous les deux être zéro ().
Même si ces équations peuvent toutes sembler différentes, elles représentent toutes la même ligne. Si vous avez accès à une calculatrice graphique, essayez de tracer chaque équation et de comparer les résultats. Les graphiques seront tous les mêmes!
Systèmes d'équations linéaires
Parfois, on nous donne deux équations ou plus qui peuvent être rendues vraies par les mêmes variables.
Par exemple:
Quand et , les deux équations sont vraies.
On appelle cela des systèmes d'équations linéaires et on peut trouver leurs variable(s) en utilisant l'une des deux méthodes : élimination et substitution.
Résolution par élimination
Les principales étapes pour résoudre un système d'équations linéaires par élimination:
1. Réécrire les équations de sorte que les variables soient dans le même ordre:
deviendrait
2. Multiplier l'une ou les deux équations par des nombres non nuls qui rendraient un ensemble de termes nuls si on les additionnait ou les soustrayait:
deviendrait
3. Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer leur variable commune:
4. Résoudre l'équation pour isoler la variable restante:
5. Brancher cette variable dans l'une des équations initiales et simplifier pour isoler la variable restante:
Les variables qui satisfont les deux équations sont et ou
6. Répéter au besoin, comme lorsqu'il y a plus de deux équations linéaires dans le système.
Résolution par substitution
Les principales étapes pour résoudre un système d'équations linéaires par substitution:
1. Résoudre pour ou dans l'une des équations en isolant la variable:
2. Brancher la variable résultante dans l'autre équation et résoudre:
3. Brancher la variable résultante dans l'une ou l'autre des équations initiales et résoudre:
Les variables qui satisfont les deux équations sont et ou
4. Répéter au besoin, comme lorsqu'il y a plus de deux équations linéaires dans le système.
Il existe trois types de solutions possibles pour les systèmes d'équations linéaires:
Aucune solution : Il n'y a pas de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Sur un graphique, les lignes représentant les équations ne se touchent pas. Si ce sont des équations linéaires, ces lignes seraient parallèles entre elles.
Une solution : Il y a un ensemble de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Sur un graphique, les lignes représentant les équations se croisent une fois. Le point où elles se croisent est la solution du système.
Infinies solutions : Il y a un nombre infini de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Cela se produit lorsque toutes les équations du système sont les mêmes ou sont des variations de la même équation et, par conséquent, représentent la même ligne.
Autres termes pertinents:
Équations cohérentes : deux équations ou plus sont cohérentes quand elles partagent une ou des solutions infinies. Par exemple : et sont cohérentes parce qu'elles partagent une solution .
Équations incohérentes : deux équations ou plus sont incohérentes quand elles ne partagent pas de solutions, c'est-à-dire que leurs lignes n'ont pas de points en commun. Les lignes des équations incohérentes sont parallèles entre elles. Par exemple : et sont incohérentes parce que a une valeur différente dans chaque équation, ce qui signifie que les équations ne partagent pas de solutions.
Équations indépendantes : deux équations ou plus sont indépendantes quand elles représentent des lignes différentes.
Équations dépendantes : deux équations ou plus sont dépendantes quand elles représentent la même ligne, ce qui donne à chaque équation des solutions infinies. Des équations dépendantes se produisent quand une équation est écrite sous différentes formes. Par exemple : et représentent la même ligne et sont donc dépendantes.
Une équation linéaire est une équation qui représente une ligne droite. Elle a généralement des constantes et des variables, qui ne peuvent pas contenir d'exposants ou de racines, et est généralement écrite de l'une des manières suivantes:
Forme point-pente
Par exemple :
Forme à pente-intercepteur
Par exemple:
Forme standard
Par exemple:
Important : Dans cette forme, et ne peuvent pas tous les deux être zéro ().
Même si ces équations peuvent toutes sembler différentes, elles représentent toutes la même ligne. Si vous avez accès à une calculatrice graphique, essayez de tracer chaque équation et de comparer les résultats. Les graphiques seront tous les mêmes!
Systèmes d'équations linéaires
Parfois, on nous donne deux équations ou plus qui peuvent être rendues vraies par les mêmes variables.
Par exemple:
Quand et , les deux équations sont vraies.
On appelle cela des systèmes d'équations linéaires et on peut trouver leurs variable(s) en utilisant l'une des deux méthodes : élimination et substitution.
Résolution par élimination
Les principales étapes pour résoudre un système d'équations linéaires par élimination:
1. Réécrire les équations de sorte que les variables soient dans le même ordre:
deviendrait
2. Multiplier l'une ou les deux équations par des nombres non nuls qui rendraient un ensemble de termes nuls si on les additionnait ou les soustrayait:
deviendrait
3. Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer leur variable commune:
4. Résoudre l'équation pour isoler la variable restante:
5. Brancher cette variable dans l'une des équations initiales et simplifier pour isoler la variable restante:
Les variables qui satisfont les deux équations sont et ou
6. Répéter au besoin, comme lorsqu'il y a plus de deux équations linéaires dans le système.
Résolution par substitution
Les principales étapes pour résoudre un système d'équations linéaires par substitution:
1. Résoudre pour ou dans l'une des équations en isolant la variable:
2. Brancher la variable résultante dans l'autre équation et résoudre:
3. Brancher la variable résultante dans l'une ou l'autre des équations initiales et résoudre:
Les variables qui satisfont les deux équations sont et ou
4. Répéter au besoin, comme lorsqu'il y a plus de deux équations linéaires dans le système.
Il existe trois types de solutions possibles pour les systèmes d'équations linéaires:
Aucune solution : Il n'y a pas de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Sur un graphique, les lignes représentant les équations ne se touchent pas. Si ce sont des équations linéaires, ces lignes seraient parallèles entre elles.
Une solution : Il y a un ensemble de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Sur un graphique, les lignes représentant les équations se croisent une fois. Le point où elles se croisent est la solution du système.
Infinies solutions : Il y a un nombre infini de variables qui rendraient toutes les équations du système vraies. Cela se produit lorsque toutes les équations du système sont les mêmes ou sont des variations de la même équation et, par conséquent, représentent la même ligne.
Autres termes pertinents:
Équations cohérentes : deux équations ou plus sont cohérentes quand elles partagent une ou des solutions infinies. Par exemple : et sont cohérentes parce qu'elles partagent une solution .
Équations incohérentes : deux équations ou plus sont incohérentes quand elles ne partagent pas de solutions, c'est-à-dire que leurs lignes n'ont pas de points en commun. Les lignes des équations incohérentes sont parallèles entre elles. Par exemple : et sont incohérentes parce que a une valeur différente dans chaque équation, ce qui signifie que les équations ne partagent pas de solutions.
Équations indépendantes : deux équations ou plus sont indépendantes quand elles représentent des lignes différentes.
Équations dépendantes : deux équations ou plus sont dépendantes quand elles représentent la même ligne, ce qui donne à chaque équation des solutions infinies. Des équations dépendantes se produisent quand une équation est écrite sous différentes formes. Par exemple : et représentent la même ligne et sont donc dépendantes.