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Propriétés des ellipses

Une ellipse est l'ensemble de tous les points d'un plan dont les distances depuis deux points fixes, appelés points focaux ou foyers, s'ajoutent à une valeur constante qui est égale à la longueur de l'axe majeur de l'ellipse.
Par exemple, disons que nous avons un axe majeur qui est long de

12

unités. Les foyers de l'ellipse se trouvent toujours sur l'axe majeur. L'ellipse elle-même serait formée par des lignes imaginaires allant des deux foyers au même point sur l'ellipse, de sorte que leurs longueurs totales équivalent à

12

, la longueur de l'axe majeur. Les longueurs des lignes pourraient être de

6

6

4

8

1.5

10.5

, ou n'importe quelle combinaison de nombres rationnels positifs qui s'ajoutent à

12

, dont il y a un nombre infini.
définition

Forme standard

Forme standard d'une ellipse horizontale: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Forme standard d'une ellipse verticale: $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Remarque : L'équation de la forme standard d'une ellipse est composée de deux fractions, dans lesquelles

a^{2}

est le plus grand des deux dénominateurs et

b^{2}

est le plus petit des deux dénominateurs. La forme standard d'une ellipse requiert que le côté droit de l'équation soit égal à

1

Points

Centre $(h, k)$ : Le point au centre d'une ellipse. $h$ représente l'abscisse et $k$ représente l'ordonnée.
Sommets: Les intersections de l'axe majeur avec l'ellipse.
Co-sommets: Les intersections de l'axe mineur avec l'ellipse.

Lignes, segments de ligne et axes

L'axe majeur $(2 a)$ : le plus long des deux axes qui compose une ellipse. Il va d'un côté de l'ellipse, à travers son centre, à l'autre côté de l'ellipse à son point le plus large.
L'axe mineur $(2 b)$ : le plus court des deux axes qui compose une ellipse. Il va d'un côté de l'ellipse, à travers son centre, à l'autre côté de l'ellipse.
Axe semi-majeur $(a)$ : moitié de la longueur de l'axe majeur.
Axe semi-mineur $(b)$ : moitié de la longueur de l'axe mineur.
Longueur focale $(f)$ : la distance du centre d'une ellipse à l'un de ses foyers. $f = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Paramètre focal $(p)$ : la distance d'un foyer à la directrice correspondante. $p = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Directrice: Deux lignes à l'extérieur de l'ellipse qui sont perpendiculaires à l'axe majeur et qui sont utilisées conjointement avec les foyers pour définir l'ellipse.
Dans une ellipse horizontale: $x = h \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Dans une ellipse verticale: $y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ .
Latus rectum: Les segments de ligne qui sont perpendiculaires à l'axe majeur, passent par les foyers, de sorte que leurs extrémités se trouvent sur l'ellipse. Leurs longueurs sont égales à $\frac{2 \cdot b^{2}}{a}$ .

Autres propriétés

Aire: $π \cdot a \cdot b$
Excentricité $(e)$ : Une mesure de combien une ellipse est allongée, définie par le rapport suivant: 1. La distance du centre à l'un des foyers à 2. La distance du centre à l'un des sommets: $\frac{\sqrt{(a^{2} - b^{2})}}{a}$
L'excentricité d'une ellipse est toujours entre $0$ et $1 (0 < e < 1)$ .

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