Calculatrice Tiger Algebra

Les logarithmes répondent à la question : « De quel exposant devons-nous augmenter un nombre donné pour le transformer en un autre nombre donné ? » ou, plus simplement, « Combien de fois devons-nous multiplier un nombre par lui-même pour obtenir un autre nombre donné ? ». Par exemple : De quel exposant avons-nous besoin pour élever $$3$$ pour qu'il devienne $$81$$ ou combien de fois devons-nous multiplier $$3$$ par lui-même pour obtenir $$81$$ ? La réponse est $$4$$, ce qui fait que l'équation de ce problème est $$lo{g}_{3}81=4$$. À haute voix, ce serait : « Le logarithme de $$81$$ base $$3$$ est égale à $$4$$ ou log base $$3$$ de $$81$$ est $$4$$ ou la base $$3$$ log de $$81$$ est $$4$$.

Le nombre que l'on multiplie par lui-même est appelé la base du logarithme. Dans notre exemple, $$3$$ est la base du logarithme.
Le nombre situé entre la base et le signe = s'appelle l'argument et est le nombre que nous obtenons lorsque nous élevons la base du logarithme ($$3$$) à la solution de l'équation ($$4$$). Dans notre exemple, $$81$$ est l’argument.
La solution du logarithme est l'exposant auquel on élève la base du logarithme pour obtenir l'argument du logarithme. Dans notre exemple, $$4$$ est la solution.

Un logarithme écrit sans base a généralement une base de $$10$$ et est appelé un logarithme commun. Le bouton log sur les calculatrices permet d'entrer le logarithme commun. Par exemple, $$log\left(100\right)=lo{g}_{10}\left(100\right)=2$$.
Les logarithmes naturels, quant à eux, s'écrivent ln et sont des logarithmes dont la base est e. Dans ce contexte, e représente le nombre d'Euler, un nombre irrationnel égal à environ 2,7182. On peut entrer un logarithme naturel sur une calculatrice en appuyant sur le bouton ln.
Les logarithmes peuvent également être positifs ou négatifs et inclure des décimales.

Propriétés des logarithmes de même base :

Règle du produit : $$lo{g}_a\left(x\right)+lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x·y\right)$$
Règle du quotient : $$lo{g}_a\left(x\right)-lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x/y\right)$$
Règle de puissance : $$lo{g}_a\left(x^b\right)=b·lo{g}_a\left(x\right)$$
Règle de Lipkin : $$-lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(1/x\right)$$
Règle d’égalité : Si $$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(y\right)$$ alors $$x=y$$


Modification des propriétés de base :

$$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_b\left(x\right)/lo{g}_b\left(a\right)$$

$$lo{g}_a\left(x\right)=1/lo{g}_x\left(a\right)$$


La relation entre les logarithmes, les exposants et les racines :
Si nous avions écrit une équation exponentielle trois fois, en remplaçant chaque fois une valeur différente par une variable, nous aurions obtenu trois équations très différentes, mais étroitement liées.
Regardons l'équation exponentielle : $$3^4=81$$.

Scénario 1 : Remplacement de la solution par une variable
En remplaçant la solution par $$x$$, on obtiendrait $$3^4=x$$, ce qui se simplifie par $$x=81$$

Scénario 2 : Remplacement de l'exposant par une variable
En remplaçant l'exposant par $$x$$, on obtiendrait $$3^x=81$$ qui est une équation logarithmique pouvant être réécrite sous la forme $$lo{g}_3\left(81\right)=x$$ et simplifiée sous la forme $$x=4$$

Scénario 3 : Remplacement de la base par une variable
En remplaçant la base par $$x$$, on obtiendrait $$x^4=81$$, pouvant être réécrite sous la forme $$\sqrt[4]{81}=x$$ et simplifiée sous la forme $$x=3$$