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Les inégalités à valeur absolue sont des expressions mathématiques qui impliquent la fonction de valeur absolue et les inégalités. La valeur absolue d'un nombre réel représente sa distance par rapport à zéro sur la ligne des nombres. Les inégalités impliquant des valeurs absolues nécessitent souvent des approches différentes des inégalités régulières en raison de la nature non linéaire de la fonction de valeur absolue.

Concepts De Base

Pour comprendre les inégalités à valeur absolue, il est crucial de saisir le concept de valeur absolue. Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est définie comme suit :

|x| = x si x ≥ 0, et |x| = -x si x < 0.

Lors de la résolution d'inégalités à valeur absolue, nous rencontrons souvent des expressions sous la forme |ax + b| < c ou |ax + b| > c, où a, b et c sont des nombres réels.

Résoudre Des Inégalités À Valeur Absolue

Pour résoudre les inégalités à valeur absolue, nous suivons généralement ces étapes :

1. Isoler l'expression de valeur absolue si elle n'est pas déjà isolée.
2. Mettre en place deux inégalités sans valeurs absolues en considérant à la fois les cas positifs et négatifs.
3. Résoudre chaque inégalité séparément.
4. Combiner les solutions si nécessaire et représenter la solution finale sur la ligne des nombres.

Exemples

Considérons quelques exemples pour illustrer le processus de résolution des inégalités à valeur absolue :

Exemple 1 :

Résoudre l'inégalité |2x - 3| < 5.

Nous commençons par isoler l'expression de valeur absolue :

|2x - 3| < 5

Ensuite, nous mettons en place deux inégalités :

-5 < 2x - 3 < 5

et

-5 < -2x + 3 < 5

Nous résolvons chaque inégalité séparément et combinons les solutions pour obtenir la solution finale.

Exemple 2 :

Résoudre l'inégalité |3x + 2| >= 7.

Nous suivons des étapes similaires à l'Exemple 1 pour résoudre cette inégalité à valeur absolue.

Conclusion

Les inégalités à valeur absolue sont importantes dans divers domaines des mathématiques et des applications de la vie réelle. Maîtriser les techniques pour les résoudre est essentiel pour une compréhension plus profonde de l'algèbre et des sujets connexes.