Calculatrice Tiger Algebra

Une combinaison est une façon d'arranger les éléments d'un ensemble lorsque l'ordre de l'arrangement n'a pas d'importance. Un exemple serait de choisir trois numéros au hasard dans une liste de neuf. Peu importe que tu choisisses $$1$$, puis $$7$$, puis $$4$$ ou que tu choisisses $$7$$, puis $$1$$, puis $$4$$.
Une permutation est une façon d'arranger les éléments d'un ensemble lorsque l'ordre de l'arrangement a de l’importance. Un exemple de ceci serait un verrouillage à code. Si le code est $$1,7,4$$, alors il ne peut pas être saisi dans l’ordre $$1,4,7$$ ou $$4,7,1$$ ou dans un autre ordre.
Tant qu'il y a plus d'un élément dans un ensemble, il y aura toujours plus de permutations que de combinaisons.

Les combinaisons et les permutations peuvent se produire avec ou sans répétition, ce qui signifie qu'elles contiennent un ou plusieurs éléments plusieurs fois ou non. Même si cela ne semble pas faire une grande différence, la répétition d'éléments dans un ensemble change radicalement la façon dont nous devons l'aborder.

Notations
$$n$$ représente généralement le nombre total d'éléments dans un ensemble.
$$k$$ représente généralement le nombre d'éléments dans un sous-ensemble sélectionné.
$$C$$ représente généralement des combinaisons.
$$P$$ représente généralement des permutations.

$$P\left(n,k\right)$$ représente le nombre de permutations différentes d'un sous-ensemble ($$k$$) à partir d'un ensemble plus grand ($$n$$) et peut également être écrit comme suit :
IMAGE MANQUANTE
$$C\left(n,k\right)$$ représente le nombre de combinaisons différentes d'un sous-ensemble ($$k$$) à partir d'un ensemble plus grand ($$n$$) et peut également être écrit comme suit :
IMAGE MANQUANTE
Cette notation est aussi parfois appelée « k parmi n ».

Formules
Nous utilisons la fonction factorielle pour résoudre les permutations et les combinaisons.

Permutations avec répétition
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Par ex. : combien de permutations différentes d'un sous-ensemble de $$3$$ éléments sur un total de $$9$$ y a-t-il lorsque des répétitions peuvent survenir ?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutations sans répétition
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Par ex. : combien de permutations différentes d'un sous-ensemble de $$3$$ éléments sur un total de $$9$$ y a-t-il lorsque des répétitions ne peuvent pas survenir ?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Combinaisons avec répétition
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Par ex. : combien de combinaisons différentes d'un sous-ensemble de $$3$$ éléments sur un total de $$9$$ y a-t-il lorsque des répétitions peuvent survenir ?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Combinaisons sans répétition lien vers cet exercice
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Par ex. : combien de combinaisons différentes d'un sous-ensemble de $$3$$ éléments sur un total de $$9$$ y a-t-il lorsque des répétitions peuvent survenir ?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$