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Solution - Séquences géométriques

Le ratio commun est :

r = 3

r=3

La somme de cette série est :

s = 1573

s=1573

La forme générale de cette série est :

a_{n} = 13 \cdot 3^{n - 1}

a_n=13*3^(n-1)

Le nième terme de cette série est :

13, 39, 117, 351, 1053, 3159, 9477, 28431, 85293, 255879

13,39,117,351,1053,3159,9477,28431,85293,255879

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Trouver le rapport commun

Trouver le rapport commun en divisant n’importe quel terme de la séquence par le terme précédent :

$a_{2} a_{1} = \frac{39}{13} = 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{117}{39} = 3$

$a_{4} a_{3} = \frac{351}{117} = 3$

$a_{5} a_{4} = \frac{1053}{351} = 3$

Le rapport commun ( $r$ ) de la séquence est constant et est égal au quotient de deux termes consécutifs.
$r = 3$

2. Trouver la somme

5 étapes supplémentaires

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Pour trouver la somme de la série, insérer le premier terme : $a = 13$ , le rapport commun : $r = 3$ , et le nombre d'éléments $n = 5$ dans la formule de la somme des séries géométriques :

$s_{5} = 13 * ((1 - 3^{5}) / (1 - 3))$

$s_{5} = 13 * ((1 - 243) / (1 - 3))$

$s_{5} = 13 * (- 242 / (1 - 3))$

$s_{5} = 13 * (- 242 / - 2)$

$s_{5} = 13 \cdot 121$

$s_{5} = 1573$

3. Trouver la forme générale

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Pour trouver la forme générale de la série, insérer le premier terme : $a = 13$ et rapport commun : $r = 3$ dans la formule des séries géométriques :

$a_{n} = 13 \cdot 3^{n - 1}$

4. Trouver le nième terme

Utilise la forme générale pour trouver le nième terme

$a_{1} = 13$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{2 - 1} = 13 \cdot 3^{1} = 13 \cdot 3 = 39$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{3 - 1} = 13 \cdot 3^{2} = 13 \cdot 9 = 117$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{4 - 1} = 13 \cdot 3^{3} = 13 \cdot 27 = 351$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{5 - 1} = 13 \cdot 3^{4} = 13 \cdot 81 = 1053$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{6 - 1} = 13 \cdot 3^{5} = 13 \cdot 243 = 3159$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{7 - 1} = 13 \cdot 3^{6} = 13 \cdot 729 = 9477$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{8 - 1} = 13 \cdot 3^{7} = 13 \cdot 2187 = 28431$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{9 - 1} = 13 \cdot 3^{8} = 13 \cdot 6561 = 85293$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot 3^{10 - 1} = 13 \cdot 3^{9} = 13 \cdot 19683 = 255879$

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Les séquences géométriques sont couramment utilisées pour expliquer des concepts en mathématiques, physique, ingénierie, biologie, économie, informatique, finance, et plus encore, ce qui en fait un outil très utile à avoir dans nos trousses à outils. L'une des applications les plus courantes des séquences géométriques, par exemple, est le calcul des intérêts composés gagnés ou non payés, une activité le plus souvent associée aux finances qui pourrait signifier gagner ou perdre beaucoup d'argent! D'autres applications comprennent, mais ne sont certainement pas limitées à, le calcul de la probabilité, la mesure de la radioactivité au fil du temps, et la conception de bâtiments.

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Séquences géométriques