Solution - Propriétés des ellipses

$$h$$ représente le décalage x par rapport à l'origine.
$$k$$ représente le décalage y par rapport à l'origine.
Pour trouver les valeurs de $$h$$ et $$k$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale :
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Centre : $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ représente le plus long rayon de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe majeur. On l'appelle l'axe semi-major.
Pour trouver la valeur de $$a$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale :
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$
$$a^2=\frac{2024}{19}$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation :
$$a=10,321$$

Parce que $$a$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des x et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre.

Pour trouver le sommet_1, ajoutez $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre :
Sommet_1 : $$\left(h+a,k\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=10.321$$
Sommet_1 : $$\left(0+10.321,0\right)$$
Sommet_1 : $$\left(10.321;0\right)$$

Pour trouver le sommet_2, soustrayez $$a$$ de la coordonnée x ($$h$$) du centre :
Sommet_2 : $$\left(h-a,k\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=10.321$$
Sommet_2 : $$\left(0-10.321,0\right)$$
Sommet_2 : $$\left(-10.321;0\right)$$

$$b$$ représente le plus court rayon de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe mineur. On l'appelle l'axe semi-mineur.
Pour trouver la valeur de $$b$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale :
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$
$$b^2=\frac{506}{7}$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation :
$$b=8,502$$
Comme b représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe mineur est parallèle à l'axe des y et traverse les co-sommets de l'ellipse.
Trouvez les co-sommets en ajoutant et soustrayant $$b$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre.

Pour trouver co-vertex_1, ajoutez $$b$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Co-vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=8,502$$
Co-vertex_1: $$\left(0,0+8,502\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0;8,502\right)$$

Pour trouver co-vertex_2, soustrayez $$b$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Co-vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=8,502$$
Co-vertex_2: $$\left(0,0-8,502\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(0;-8,502\right)$$

La distance focale est la distance du centre de l'ellipse à chaque point focal et est généralement représentée par $$f$$.

Pour trouver $$f$$, utilisez la formule:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{2024}{19}$$
$$b^2=\frac{506}{7}$$
Insérez $$a^2$$ et $$b^2$$ dans la formule et simplifiez:

$$f=\sqrt{\frac{2024}{19}-\frac{506}{7}}$$

$$f=\sqrt{\frac{4554}{133}}$$

$$f=5,852$$

Parce que $$f$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des x et passe par les foyers.
Trouvez les foyers en ajoutant et en soustrayant $$f$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre.

Pour trouver focus_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5,852$$
Focus_1: $$\left(0+5,852,0\right)$$
Focus_1: $$\left(5,852;0\right)$$

Pour trouver focus_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5,852$$
Focus_2: $$\left(0-5,852,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-5,852;0\right)$$

Utilisez la formule de l'aire d'une ellipse pour trouver l'aire de l'ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=10,321$$
$$b=8,502$$
Insèrez $$a$$ et $$b$$ dans la formule et simplifiez:

$$\pi ·10,321·8,502$$

$$\pi ·87,749$$

L'aire est égale à $$87,749\pi$$

Pour trouver l'interception-x(s), insérez $$0$$ pour $$y$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$x$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{0^2}{\frac{506}{7}}=1$$

$$x_1=10,321$$

$$x_2=-10,321$$

Pour trouver l'interception-y(s), insérez $$0$$ pour $$x$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$y$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1$$

$$y_1=8,502$$

$$y_2=-8,502$$

Pour trouver l'excentricité, utilisez la formule:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{2024}{19}$$
$$b^2=\frac{506}{7}$$
$$a=10,321$$
Insérer $$a^2$$ , $$b^2$$ et $$a$$ dans la formule:

$$\frac{\sqrt{\frac{2024}{19}-\frac{506}{7}}}{10,321}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{4554}{133}}}{10,321}$$

$$\frac{5,852}{10,321}$$

$$0,567$$

L'excentricité est égale à $$0,567$$