Solution - Propriétés des ellipses

$$a$$ représente le plus long rayon de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe majeur. On l'appelle l'axe semi-major.
Pour trouver la valeur de $$a$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale :
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=9$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation :
$$a=3$$

Parce que $$a$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des x et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre.

Pour trouver le sommet_1, ajoutez $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre :
Sommet_1 : $$\left(h+a,k\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(1,-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Sommet_1 : $$\left(1+3,-5\right)$$
Sommet_1 : $$\left(4;-5\right)$$

Pour trouver le sommet_2, soustrayez $$a$$ de la coordonnée x ($$h$$) du centre :
Sommet_2 : $$\left(h-a,k\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(1,-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Sommet_2 : $$\left(1-3,-5\right)$$
Sommet_2 : $$\left(-2;-5\right)$$

$$b$$ représente le plus court rayon de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe mineur. On l'appelle l'axe semi-mineur.
Pour trouver la valeur de $$b$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale :
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation :
$$b=2$$
Comme b représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe mineur est parallèle à l'axe des y et traverse les co-sommets de l'ellipse.
Trouvez les co-sommets en ajoutant et soustrayant $$b$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre.

Pour trouver co-vertex_1, ajoutez $$b$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Co-vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Co-vertex_1: $$\left(1,-5+2\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(1;-3\right)$$

Pour trouver co-vertex_2, soustrayez $$b$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Co-vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Co-vertex_2: $$\left(1,-5-2\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(1;-7\right)$$

La distance focale est la distance du centre de l'ellipse à chaque point focal et est généralement représentée par $$f$$.

Pour trouver $$f$$, utilisez la formule:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
Insérez $$a^2$$ et $$b^2$$ dans la formule et simplifiez:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2,236$$

Parce que $$f$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des x et passe par les foyers.
Trouvez les foyers en ajoutant et en soustrayant $$f$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre.

Pour trouver focus_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Focus_1: $$\left(1+2,236,-5\right)$$
Focus_1: $$\left(3,236;-5\right)$$

Pour trouver focus_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Focus_2: $$\left(1-2,236,-5\right)$$
Focus_2: $$\left(-1,236;-5\right)$$

Utilisez la formule de l'aire d'une ellipse pour trouver l'aire de l'ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
Insèrez $$a$$ et $$b$$ dans la formule et simplifiez:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

L'aire est égale à $$6\pi$$

Pour trouver l'interception-x(s), insérez $$0$$ pour $$y$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$x$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(0+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\sqrt{-}\frac{21}{4}$$

Pour trouver l'interception-y(s), insérez $$0$$ pour $$x$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$y$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=-3,114$$

$$y_2=-6,886$$

Pour trouver l'excentricité, utilisez la formule:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
Insérer $$a^2$$ , $$b^2$$ et $$a$$ dans la formule:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2,236}{3}$$

$$0,745$$

L'excentricité est égale à $$0,745$$