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Solution - Résoudre l’inégalité du second degré en utilisant la formule quadratique

Notation de l’intervalle - Pas de vraies racines:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solution :

x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{19}}{2}, x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{19}}{2}

x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{-i\sqrt{19}}{2} , x_{2}=\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{19}}{2}

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Simplifier l’expression

13 étapes supplémentaires

$2 - x^{2} > = x + 7$

Soustraire {x}^{2} des deux côtés:

$(2 - x^{2}) - x > = (x + 7) - x$

Collecter des termes semblables:

$(2 - x^{2}) - x > = (x - x) + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$(2 - x^{2}) - x > = 7$

Soustraire {x}^{2} des deux côtés:

$((2 - x^{2}) - x) - (2 - x^{2}) > = 7 - (2 - x^{2})$

Développer les parenthèses:

$2 - x^{2} - x - 2 + x^{2} > = 7 - (2 - x^{2})$

Collecter des termes semblables:

$(- x^{2} + x^{2}) - x + (2 - 2) > = 7 - (2 - x^{2})$

Simplifier l’expression arithmétique:

$0 x^{2} - x > = 7 - (2 - x^{2})$

$- x > = 7 - (2 - x^{2})$

Développer les parenthèses:

$- x > = 7 - 2 + x^{2}$

Collecter des termes semblables:

$- x > = x^{2} + (7 - 2)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x > = x^{2} + 5$

Soustraire {x}^{2} des deux côtés:

$- x - x^{2} > = (x^{2} + 5) - x^{2}$

Collecter des termes semblables:

$- x - x^{2} > = (x^{2} - x^{2}) + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x - x^{2} > = 5$

Simplifier l’inégalité du second degré dans sa forme standard

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Soustraire $5$ des deux côtés de l’inégalité :

$- 1 x^{2} - 1 x \geq 5$

Soustraire $5$ des deux côtés :

$- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 5 - 5$

Simplifier l’expression

$- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 0$

2. Déterminer les coefficients $a$ , $b$ et $c$ de l’inégalité du second degré

Les coefficients de notre inégalité, $- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 0$ , sont :

$a$ = -1

$b$ = -1

$c$ = -5

3. Insérer ces coefficients dans la formule quadratique

Pour trouver les racines d'une équation quadratique, insérez ses coefficients ( $a$ , $b$ et $c$ ) dans la formule quadratique:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = - 1$
$c = - 5$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 1^{2} - 4 * - 1 * - 5)) / (2 * - 1)$

Simplifier les exposants et les racines carrées

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 4 * - 1 * - 5)) / (2 * - 1)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - - 4 * - 5)) / (2 * - 1)$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 20)) / (2 * - 1)$

Effectuer toute addition ou soustraction, de gauche à droite.

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 19)) / (2 * - 1)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x = (1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

pour obtenir le résultat :

$x = (1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

4. Simplifier les racines carrées $\sqrt{(- 19)}$

Simplifier $- 19$ en trouvant ses facteurs premiers :

La factorisation première de $- 19$ est $i \sqrt{19}$

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas parmi l'ensemble des nombres réels. Nous introduisons le nombre imaginaire "i", qui est la racine carrée de moins un. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 19} = \sqrt{(- 1) \cdot 19}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 19} = i \sqrt{19}$

Écrire les facteurs premiers :

$i \sqrt{19} = i \sqrt{19}$

5. Résoudre l’équation pour x

$x = (1 \pm i s q r t (19)) / (- 2)$

± signifie que deux racines sont possibles.

Séparer les équations : $x_{1} = (1 + i s q r t (19)) / (- 2)$ et $x_{2} = (1 - i s q r t (19)) / (- 2)$

2 étapes supplémentaires

$x_{1} = \frac{(1 + i \sqrt{19})}{- 2}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x_{1} = \frac{- (1 + i \sqrt{19})}{2}$

Développer les parenthèses:

$x_{1} = \frac{(- 1 - i \sqrt{19})}{2}$

Décomposer la fraction:

$x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{19}}{2}$

2 étapes supplémentaires

$x_{2} = \frac{(1 - i \sqrt{19})}{- 2}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x_{2} = \frac{- (1 - i \sqrt{19})}{2}$

Développer les parenthèses:

$x_{2} = \frac{(- 1 + i \sqrt{19})}{2}$

Décomposer la fraction:

$x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{19}}{2}$

6. Trouver les intervalles

Partie discriminante de la formule quadratique :

$b^{2} - 4 a c < 0$ Il n'y a pas de racines réelles.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Il existe une racine réelle.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Il y a deux vraies racines.

La fonction d'inégalité n'a pas de racines réelles, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. La formule quadratique nécessite de prendre la racine carrée, et la racine carrée du nombre négatif n'est pas définie sur la ligne réelle.

L'intervalle est $(- \infty, \infty)$

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Alors que les équations du second degré expriment les trajectoires d'arcs et les points qui les longent, les inégalités du second degré expriment les zones à l'intérieur et à l'extérieur de ces arcs et les intervalles qu'elles couvrent. En d'autres termes, si les équations du second degré nous indiquent où se trouve la limite, les inégalités du second degré nous aident à comprendre ce sur quoi nous devons nous concentrer par rapport à cette limite. D'un point de vue plus pratique, les inégalités du second degré sont utilisées pour créer des algorithmes complexes qui alimentent des logiciels puissants ainsi que pour suivre l'évolution des changements, comme les prix à l'épicerie, sur de longues périodes.

Termes et sujets

Inégalités du second degré

Solution - Résoudre l’inégalité du second degré en utilisant la formule quadratique

Explication étape par étape

1. Simplifier l’expression

2. Déterminer les coefficients a, b et c de l’inégalité du second degré

3. Insérer ces coefficients dans la formule quadratique

4. Simplifier les racines carrées (−19)

5. Résoudre l’équation pour x

6. Trouver les intervalles

Pourquoi apprendre cela

Termes et sujets

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2. Déterminer les coefficients $a$ , $b$ et $c$ de l’inégalité du second degré

4. Simplifier les racines carrées $\sqrt{(- 19)}$