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a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

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1

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abc

a

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w

x

y

z

␣

.

Solution - Résoudre l’inégalité du second degré en utilisant la formule quadratique

Solution :

6 < x < 18

6<x<18

Notation de l’intervalle :

x \in (6; 18)

x∈(6;18)

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Simplifier l’expression

14 étapes supplémentaires

$- 2 x^{2} + 36 x > (x - 18) \cdot (x - 18)$

Développer les parenthèses:

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot (x - 18) - 18 \cdot (x - 18)$

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot x + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Développer les parenthèses:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x - 18 \cdot - 18$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x + 324$

Combiner les termes semblables:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 36 x + 324$

Additionner $x^{2}$ des deux côtés:

$(- 2 x^{2} + 36 x) + 36 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 2 x^{2} + 72 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Collecter des termes semblables:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + (- 36 x + 36 x) + 324$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + 324$

Soustraire {x}^{2} des deux côtés:

$(- 2 x^{2} + 72 x) - x^{2} > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Collecter des termes semblables:

$(- 2 x^{2} - x^{2}) + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Collecter des termes semblables:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} - x^{2}) + 324$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Simplifier l’inégalité du second degré dans sa forme standard

$a x^{2} + b x + c > 0$

Soustraire $324$ des deux côtés de l’inégalité :

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Soustraire $324$ des deux côtés :

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 324 - 324$

Simplifier l’expression

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$

2. Déterminer les coefficients $a$ , $b$ et $c$ de l’inégalité du second degré

Les coefficients de notre inégalité, $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ , sont :

$a$ = -3

$b$ = 72

$c$ = -324

3. Insérer ces coefficients dans la formule quadratique

Pour trouver les racines d'une équation quadratique, insérez ses coefficients ( $a$ , $b$ et $c$ ) dans la formule quadratique:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 3$
$b = 72$
$c = - 324$

$x = (- 72 \pm s q r t (72^{2} - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Simplifier les exposants et les racines carrées

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - - 12 * - 324)) / (2 * - 3)$

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 3888)) / (2 * - 3)$

Effectuer toute addition ou soustraction, de gauche à droite.

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (2 * - 3)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

pour obtenir le résultat :

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

4. Simplifier les racines carrées $\sqrt{(1296)}$

Simplifier $1296$ en trouvant ses facteurs premiers :

Vue arborescente des facteurs premiers de <math>1296</math>:

La factorisation première de $1296$ est $2^{4} \cdot 3^{4}$

Écrire les facteurs premiers :

$\sqrt{1296} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Regrouper les facteurs premiers en paires et les réécrire sous forme d’exposants :

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}}$

Utiliser la règle $\sqrt{(x^{2})} = x$ pour simplifier davantage :

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 3 \cdot 3$

$4 \cdot 3 \cdot 3 = 12 \cdot 3$

$12 \cdot 3 = 36$

5. Résoudre l’équation pour x

$x = (- 72 \pm 36) / (- 6)$

± signifie que deux racines sont possibles.

Séparer les équations : $x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$ et $x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

Effectuer toute addition ou soustraction, de gauche à droite.

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 36) / (- 6)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x_{1} = - \frac{36}{-} 6$

$x_{1} = 6$

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

Effectuer toute addition ou soustraction, de gauche à droite.

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{2} = (- 108) / (- 6)$

Effectuer toute multiplication ou division de gauche à droite :

$x_{2} = - \frac{108}{-} 6$

$x_{2} = 18$

6. Trouver les intervalles

Pour trouver les intervalles d’une inégalité du second degré, nous commençons par trouver sa parabole.

Les racines de la parabole (à son intersection avec l’axe des x) sont : 6, 18.

Comme le coefficient $a$ est négatif ( $a$ =-3), il s'agit d'une inégalité du second degré « négative » et la parabole est orientée vers le bas, comme un froncement de sourcil !

Si le signe de l'inégalité est ≤ ou ≥, alors les intervalles incluent les racines et nous utilisons une ligne continue. Si le signe de l'inégalité est < ou > les intervalles n'incluent pas les racines et nous utilisons une ligne en pointillés.

7. Choisir l’intervalle correct (solution)

Puisque $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ a un signe d’inégalité $>$ , nous cherchons les intervalles de la parabole qui sont au-dessus de l’axe des x.

Solution :

Notation de l’intervalle :

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Alors que les équations du second degré expriment les trajectoires d'arcs et les points qui les longent, les inégalités du second degré expriment les zones à l'intérieur et à l'extérieur de ces arcs et les intervalles qu'elles couvrent. En d'autres termes, si les équations du second degré nous indiquent où se trouve la limite, les inégalités du second degré nous aident à comprendre ce sur quoi nous devons nous concentrer par rapport à cette limite. D'un point de vue plus pratique, les inégalités du second degré sont utilisées pour créer des algorithmes complexes qui alimentent des logiciels puissants ainsi que pour suivre l'évolution des changements, comme les prix à l'épicerie, sur de longues périodes.

Termes et sujets

Inégalités du second degré

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