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Solution - Résoudre des équations quadratiques en complétant le carré

Forme exacte:

a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}

a_1=-\frac{21}{32}+\frac{\sqrt{249}}{32}

a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}

a_2=-\frac{21}{32}-\frac{\sqrt{249}}{32}

Forme décimale:

a_{1} = - 0, 163

a_1=-0,163

a_{2} = - 1, 149

a_2=-1,149

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Déplacez tous les termes du côté gauche de l'équation

$16 a^{2} + 21 a + 9 = 6$

Soustraire -6 des deux côtés :

$16 a^{2} + 21 a + 9 - 6 = 6 - 6$

Simplifier l’expression

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

2. Identifiez les coefficients

Utilisez la forme standard d'une équation quadratique, $a x^{2} + b x + c = 0$ , pour trouver les coefficients :

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$a = 16$
$b = 21$
$c = 3$

3. Faites que le coefficient a soit égal à 1

Parce que $a = 16$ , divisez tous les coefficients et constantes des deux côtés de l'équation par $16$ :

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$\frac{16}{16} a^{2} + 21 \frac{a}{16} + \frac{3}{16} = \frac{0}{16}$

Simplifier l’expression

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

Les coefficients sont:
$a = 1$
$b = \frac{21}{16}$
$c = \frac{3}{16}$

4. Déplacez la constante du côté droit de l'équation et combinez

Ajoutez $\frac{3}{16}$ des deux côtés de l'équation :

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0 - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

5. Complétez le carré

Pour transformer le côté gauche de l'équation en un trinôme carré parfait, ajoutez une nouvelle constante égale à ${(\frac{b}{2})}^{2}$ à l'équation :

$b = \frac{21}{16}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2}$

Utilisez la règle de fraction des exposants ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{441}{256}}{4}$

$\frac{\frac{441}{256}}{4} = \frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{441}{1024}$

Ajoutez $\frac{441}{1024}$ des deux côtés de l'équation :

5 étapes supplémentaires

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = - \frac{3}{16} + \frac{441}{1024}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{(16 \cdot 64)} + \frac{441}{1024}$

Multiplier les dénominateurs:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{1024} + \frac{441}{1024}$

Multiplier les numérateurs:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{- 192}{1024} + \frac{441}{1024}$

Combiner les fractions:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 192 + 441)}{1024}$

Combiner les numérateurs:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

Maintenant que nous avons un trinôme carré parfait, nous pouvons l'écrire sous forme de carré parfait en ajoutant la moitié du coefficient $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{21}{16}$

2 étapes supplémentaires

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{21}{16}}{2}$

Simplifier la division:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{(16 \cdot 2)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{32}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

6. Résolvez pour $x$

Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation : IMPORTANT : Lorsque nous trouvons la racine carrée d'une constante, nous obtenons deux solutions : positive et négative

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

$\sqrt{{(a + \frac{21}{32})}^{2}} = \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Annuler le carré et la racine carrée du côté gauche de l'équation:

$a + \frac{21}{32} = \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Soustraire \frac{21}{32} des deux côtés

$a + \frac{21}{32} - \frac{21}{32} = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Simplifier le côté gauche

$a = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{\sqrt{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{32}$

$a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}$
$a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}$

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Dans leur fonction la plus basique, les équations quadratiques définissent des formes comme des cercles, des ellipses et des paraboles. Ces formes peuvent à leur tour être utilisées pour prédire la courbe d'un objet en mouvement, comme un ballon frappé par un joueur de football ou tiré d'un canon.
En ce qui concerne le mouvement d'un objet dans l'espace, quel meilleur endroit pour commencer que l'espace lui-même, avec la révolution des planètes autour du soleil dans notre système solaire. L'équation quadratique a été utilisée pour établir que les orbites des planètes sont elliptiques, pas circulaires. Déterminer le chemin et la vitesse à laquelle un objet se déplace dans l'espace est possible même après qu'il se soit arrêté : l'équation quadratique peut calculer la vitesse à laquelle un véhicule se déplaçait lors d'un accident. Avec des informations comme celle-ci, l'industrie automobile peut concevoir des freins pour prévenir les collisions à l'avenir. De nombreuses industries utilisent l'équation quadratique pour prédire et ainsi améliorer la durée de vie et la sécurité de leurs produits.

Termes et sujets

Résolution d'équations du second degré par complétion du carré