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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - 3, \frac{1}{13}

x=-3 , \frac{1}{13}

Forme décimale :

x = - 3, 0, 077

x=-3 , 0,077

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$4 | 2 x + 1 | = 5 | x - 1 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$4 \| 2 x + 1 \| = 5 \| x - 1 \|$
$x = + y$	$4 (2 x + 1) = 5 (x - 1)$
$x = - y$	$4 (2 x + 1) = 5 (- (x - 1))$
$+ x = y$	$4 (2 x + 1) = 5 (x - 1)$
$- x = y$	$4 (- (2 x + 1)) = 5 (x - 1)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$4 \| 2 x + 1 \| = 5 \| x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$4 (2 x + 1) = 5 (x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$4 (2 x + 1) = 5 (- (x - 1))$

2. Résoudre les deux équations pour x

16 étapes supplémentaires

$4 \cdot (2 x + 1) = 5 \cdot (x - 1)$

Développer les parenthèses:

$4 \cdot 2 x + 4 \cdot 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Multiplier les coefficients:

$8 x + 4 \cdot 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x + 4 = 5 \cdot (x - 1)$

Développer les parenthèses:

$8 x + 4 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x + 4 = 5 x - 5$

Soustraire des deux côtés:

$(8 x + 4) - 5 x = (5 x - 5) - 5 x$

Collecter des termes semblables:

$(8 x - 5 x) + 4 = (5 x - 5) - 5 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x + 4 = (5 x - 5) - 5 x$

Collecter des termes semblables:

$3 x + 4 = (5 x - 5 x) - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x + 4 = - 5$

Soustraire des deux côtés:

$(3 x + 4) - 4 = - 5 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x = - 5 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x = - 9$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(3 x)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{- 9}{3}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$x = \frac{(- 3 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$x = - 3$

17 étapes supplémentaires

$4 \cdot (2 x + 1) = 5 \cdot (- (x - 1))$

Développer les parenthèses:

$4 \cdot 2 x + 4 \cdot 1 = 5 \cdot (- (x - 1))$

Multiplier les coefficients:

$8 x + 4 \cdot 1 = 5 \cdot (- (x - 1))$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x + 4 = 5 \cdot (- (x - 1))$

Développer les parenthèses:

$8 x + 4 = 5 \cdot (- x + 1)$

$8 x + 4 = 5 \cdot - x + 5 \cdot 1$

Collecter des termes semblables:

$8 x + 4 = (5 \cdot - 1) x + 5 \cdot 1$

Multiplier les coefficients:

$8 x + 4 = - 5 x + 5 \cdot 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x + 4 = - 5 x + 5$

Additionner des deux côtés:

$(8 x + 4) + 5 x = (- 5 x + 5) + 5 x$

Collecter des termes semblables:

$(8 x + 5 x) + 4 = (- 5 x + 5) + 5 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$13 x + 4 = (- 5 x + 5) + 5 x$

Collecter des termes semblables:

$13 x + 4 = (- 5 x + 5 x) + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$13 x + 4 = 5$

Soustraire des deux côtés:

$(13 x + 4) - 4 = 5 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$13 x = 5 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$13 x = 1$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(13 x)}{13} = \frac{1}{13}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{1}{13}$

3. Lister les solutions

$x = - 3, \frac{1}{13}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = 4 | 2 x + 1 |$
$y = 5 | x - 1 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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