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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 3, \frac{3}{5}

x=3 , \frac{3}{5}

Forme décimale :

x = 3, 0, 6

x=3 , 0,6

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$3 | x - 1 | = | 2 x |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$3 \| x - 1 \| = \| 2 x \|$
$x = + y$	$3 (x - 1) = (2 x)$
$x = - y$	$3 (x - 1) = - (2 x)$
$+ x = y$	$3 (x - 1) = (2 x)$
$- x = y$	$3 (- (x - 1)) = (2 x)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$3 \| x - 1 \| = \| 2 x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$3 (x - 1) = (2 x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$3 (x - 1) = - (2 x)$

2. Résoudre les deux équations pour x

8 étapes supplémentaires

$3 \cdot (x - 1) = 2 x$

Développer les parenthèses:

$3 x + 3 \cdot - 1 = 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x - 3 = 2 x$

Soustraire des deux côtés:

$(3 x - 3) - 2 x = (2 x) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(3 x - 2 x) - 3 = (2 x) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x - 3 = (2 x) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x - 3 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(x - 3) + 3 = 0 + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 0 + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 3$

10 étapes supplémentaires

$3 \cdot (x - 1) = - (2 x)$

Développer les parenthèses:

$3 x + 3 \cdot - 1 = - (2 x)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x - 3 = - (2 x)$

Additionner des deux côtés:

$(3 x - 3) + 2 x = (- 2 x) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(3 x + 2 x) - 3 = (- 2 x) + 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x - 3 = (- 2 x) + 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x - 3 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(5 x - 3) + 3 = 0 + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x = 0 + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x = 3$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(5 x)}{5} = \frac{3}{5}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{3}{5}$

3. Lister les solutions

$x = 3, \frac{3}{5}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = 3 | x - 1 |$
$y = | 2 x |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

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