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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{7}{5}, \frac{11}{7}

x=\frac{7}{5} , \frac{11}{7}

Forme de nombre mélangé :

x = 1 \frac{2}{5}, 1 \frac{4}{7}

x=1\frac{2}{5} , 1\frac{4}{7}

Forme décimale :

x = 1, 4, 1, 571

x=1,4 , 1,571

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$2 | x - 2 | = 6 | 2 x - 3 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$2 \| x - 2 \| = 6 \| 2 x - 3 \|$
$x = + y$	$2 (x - 2) = 6 (2 x - 3)$
$x = - y$	$2 (x - 2) = 6 (- (2 x - 3))$
$+ x = y$	$2 (x - 2) = 6 (2 x - 3)$
$- x = y$	$2 (- (x - 2)) = 6 (2 x - 3)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$2 \| x - 2 \| = 6 \| 2 x - 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$2 (x - 2) = 6 (2 x - 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$2 (x - 2) = 6 (- (2 x - 3))$

2. Résoudre les deux équations pour x

18 étapes supplémentaires

$2 \cdot (x - 2) = 6 \cdot (2 x - 3)$

Développer les parenthèses:

$2 x + 2 \cdot - 2 = 6 \cdot (2 x - 3)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x - 4 = 6 \cdot (2 x - 3)$

Développer les parenthèses:

$2 x - 4 = 6 \cdot 2 x + 6 \cdot - 3$

Multiplier les coefficients:

$2 x - 4 = 12 x + 6 \cdot - 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x - 4 = 12 x - 18$

Soustraire des deux côtés:

$(2 x - 4) - 12 x = (12 x - 18) - 12 x$

Collecter des termes semblables:

$(2 x - 12 x) - 4 = (12 x - 18) - 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 10 x - 4 = (12 x - 18) - 12 x$

Collecter des termes semblables:

$- 10 x - 4 = (12 x - 12 x) - 18$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 10 x - 4 = - 18$

Additionner des deux côtés:

$(- 10 x - 4) + 4 = - 18 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 10 x = - 18 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 10 x = - 14$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(- 10 x)}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Annuler les négatifs:

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 14}{- 10}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Annuler les négatifs:

$x = \frac{14}{10}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$x = \frac{(7 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$x = \frac{7}{5}$

17 étapes supplémentaires

$2 \cdot (x - 2) = 6 \cdot (- (2 x - 3))$

Développer les parenthèses:

$2 x + 2 \cdot - 2 = 6 \cdot (- (2 x - 3))$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x - 4 = 6 \cdot (- (2 x - 3))$

Développer les parenthèses:

$2 x - 4 = 6 \cdot (- 2 x + 3)$

Développer les parenthèses:

$2 x - 4 = 6 \cdot - 2 x + 6 \cdot 3$

Multiplier les coefficients:

$2 x - 4 = - 12 x + 6 \cdot 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x - 4 = - 12 x + 18$

Additionner des deux côtés:

$(2 x - 4) + 12 x = (- 12 x + 18) + 12 x$

Collecter des termes semblables:

$(2 x + 12 x) - 4 = (- 12 x + 18) + 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$14 x - 4 = (- 12 x + 18) + 12 x$

Collecter des termes semblables:

$14 x - 4 = (- 12 x + 12 x) + 18$

Simplifier l’expression arithmétique:

$14 x - 4 = 18$

Additionner des deux côtés:

$(14 x - 4) + 4 = 18 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$14 x = 18 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$14 x = 22$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(14 x)}{14} = \frac{22}{14}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{22}{14}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$x = \frac{(11 \cdot 2)}{(7 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$x = \frac{11}{7}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{7}{5}, \frac{11}{7}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = 2 | x - 2 |$
$y = 6 | 2 x - 3 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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