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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{10}

x=-\frac{1}{2} , \frac{1}{10}

Forme décimale :

x = - 0, 5, 0, 1

x=-0,5 , 0,1

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$2 | 4 x - 1 | = 3 | 4 x |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$2 \| 4 x - 1 \| = 3 \| 4 x \|$
$x = + y$	$2 (4 x - 1) = 3 (4 x)$
$x = - y$	$2 (4 x - 1) = 3 (- (4 x))$
$+ x = y$	$2 (4 x - 1) = 3 (4 x)$
$- x = y$	$2 (- (4 x - 1)) = 3 (4 x)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$2 \| 4 x - 1 \| = 3 \| 4 x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$2 (4 x - 1) = 3 (4 x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$2 (4 x - 1) = 3 (- (4 x))$

2. Résoudre les deux équations pour x

16 étapes supplémentaires

$2 \cdot (4 x - 1) = 3 \cdot 4 x$

Développer les parenthèses:

$2 \cdot 4 x + 2 \cdot - 1 = 3 \cdot 4 x$

Multiplier les coefficients:

$8 x + 2 \cdot - 1 = 3 \cdot 4 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x - 2 = 3 \cdot 4 x$

Multiplier les coefficients:

$8 x - 2 = 12 x$

Soustraire des deux côtés:

$(8 x - 2) - 12 x = (12 x) - 12 x$

Collecter des termes semblables:

$(8 x - 12 x) - 2 = (12 x) - 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 4 x - 2 = (12 x) - 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 4 x - 2 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(- 4 x - 2) + 2 = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 4 x = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 4 x = 2$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(- 4 x)}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

Annuler les négatifs:

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{- 4}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{2}{- 4}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x = \frac{- 2}{4}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$x = \frac{- 1}{2}$

14 étapes supplémentaires

$2 \cdot (4 x - 1) = 3 \cdot - (4 x)$

Développer les parenthèses:

$2 \cdot 4 x + 2 \cdot - 1 = 3 \cdot - (4 x)$

Multiplier les coefficients:

$8 x + 2 \cdot - 1 = 3 \cdot - (4 x)$

Simplifier l’expression arithmétique:

$8 x - 2 = 3 \cdot - (4 x)$

Multiplier les coefficients:

$8 x - 2 = - 12 x$

Additionner des deux côtés:

$(8 x - 2) + 12 x = (- 12 x) + 12 x$

Collecter des termes semblables:

$(8 x + 12 x) - 2 = (- 12 x) + 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$20 x - 2 = (- 12 x) + 12 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$20 x - 2 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(20 x - 2) + 2 = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$20 x = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$20 x = 2$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(20 x)}{20} = \frac{2}{20}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{2}{20}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$x = \frac{(1 \cdot 2)}{(10 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$x = \frac{1}{10}$

3. Lister les solutions

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{10}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = 2 | 4 x - 1 |$
$y = 3 | 4 x |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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