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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - \frac{21}{11}, - \frac{11}{13}

x=-\frac{21}{11} , -\frac{11}{13}

Forme de nombre mélangé :

x = - 1 \frac{10}{11}, - \frac{11}{13}

x=-1\frac{10}{11} , -\frac{11}{13}

Forme décimale :

x = - 1, 909, - 0, 846

x=-1,909 , -0,846

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$\frac{1}{4} | x - 5 | = | 3 x + 4 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{4} \| x - 5 \| = \| 3 x + 4 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x + 4)$
$x = - y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = - (3 x + 4)$
$+ x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x + 4)$
$- x = y$	$\frac{1}{4} (- (x - 5)) = (3 x + 4)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{4} \| x - 5 \| = \| 3 x + 4 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x + 4)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = - (3 x + 4)$

2. Résoudre les deux équations pour x

26 étapes supplémentaires

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5) = (3 x + 4)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x - 5))}{4} = (3 x + 4)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}) - 3 x = (3 x + 4) - 3 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{4} - 3 x) + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4) - 3 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{4} - 3) x + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4) - 3 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{4} + \frac{- 12}{4}) x + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4) - 3 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 - 12)}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4) - 3 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x + 4) - 3 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 3 x) + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4}) + \frac{5}{4} = 4 + \frac{5}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{(- 5 + 5)}{4} = 4 + \frac{5}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{0}{4} = 4 + \frac{5}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 11}{4} x + 0 = 4 + \frac{5}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 11}{4} x = 4 + \frac{5}{4}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{16}{4} + \frac{5}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{(16 + 5)}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{21}{4}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 11}{4} x) \cdot \frac{4}{- 11} = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 11}{4} x \cdot \frac{- 4}{11} = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 11}{4} \cdot \frac{- 4}{11}) x = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 11 \cdot - 4)}{(4 \cdot 11)} x = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

$x = (\frac{21}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x = \frac{21}{4} \cdot \frac{- 4}{11}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(21 \cdot - 4)}{(4 \cdot 11)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 21}{11}$

24 étapes supplémentaires

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5) = - (3 x + 4)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x - 5))}{4} = - (3 x + 4)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = - (3 x + 4)$

Développer les parenthèses:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = - 3 x - 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}) + 3 x = (- 3 x - 4) + 3 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{4} + 3 x) + \frac{- 5}{4} = (- 3 x - 4) + 3 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{4} + 3) x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x - 4) + 3 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{4} + \frac{12}{4}) x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x - 4) + 3 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 + 12)}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x - 4) + 3 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x - 4) + 3 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 3 x) - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = - 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4}) + \frac{5}{4} = - 4 + \frac{5}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{4} x + \frac{(- 5 + 5)}{4} = - 4 + \frac{5}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{4} x + \frac{0}{4} = - 4 + \frac{5}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{13}{4} x + 0 = - 4 + \frac{5}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{4} x = - 4 + \frac{5}{4}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{13}{4} x = \frac{- 16}{4} + \frac{5}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{4} x = \frac{(- 16 + 5)}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{4} x = \frac{- 11}{4}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{13}{4} x) \cdot \frac{4}{13} = (\frac{- 11}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{13}{4} \cdot \frac{4}{13}) x = (\frac{- 11}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(13 \cdot 4)}{(4 \cdot 13)} x = (\frac{- 11}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{- 11}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 11 \cdot 4)}{(4 \cdot 13)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 11}{13}$

3. Lister les solutions

$x = - \frac{21}{11}, - \frac{11}{13}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = \frac{1}{4} | x - 5 |$
$y = | 3 x + 4 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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