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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - 12, 0

x=-12 , 0

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$\frac{1}{3} | x - 3 | = \frac{1}{2} | x + 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$
$+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$- x = y$	$\frac{1}{3} (- (x - 3)) = \frac{1}{2} (x + 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$

2. Résoudre les deux équations pour x

29 étapes supplémentaires

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplier les fractions:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (x + 2))}{2}$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{(1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + 1$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{x}{3} - 1) - \frac{x}{2} = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{3} + \frac{- 1}{2} x) - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 1}{2}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{6} + \frac{- 3}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 3)}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = (\frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} x) + 1$

Combiner les fractions:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{2} x + 1$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x + 1$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 0 x + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 1$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{- 1}{6} x - 1) + 1 = 1 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{6} x = 1 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{6} x = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 1}{6} x) \cdot \frac{6}{- 1} = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 1}{6} \cdot - 6) x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 1 \cdot - 6)}{6} x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

$x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = - 12$

25 étapes supplémentaires

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplier les fractions:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (- (x + 2)))}{2}$

Développer les parenthèses:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(- x - 2)}{2}$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{- 2}{2}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} - 1$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{x}{3} - 1) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 3)}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} + \frac{1}{2} x) - 1$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 1$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x - 1$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{5}{6} x - 1 = 0 x - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{6} x - 1 = - 1$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{5}{6} x - 1) + 1 = - 1 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{6} x = - 1 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{6} x = 0$

Diviser les deux côtés par le coefficient:

$x = 0$

3. Lister les solutions

$x = - 12, 0$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = \frac{1}{3} | x - 3 |$
$y = \frac{1}{2} | x + 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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